Käyttäytymistason selitysmallit
Käyttäytymistasoon orientoitunut tutkimus on korostanut lasten matemaattisten vaikeuksien tutkimuksessa itse matematiikan suorituksissa ilmeneviä eroja normaalien ja oppimisvaikeuksista kärsivien lasten välillä. Tutkimuksissa on kuvattu itsestäänselvyydeltä tuntuvia havaintoja siitä, että oppimisvaikeuksiset lapset tekevät selvästi enemmän virheitä laskutoimituksissa ja suorittavat nämä laskutoimitukset hitaammin kuin ikätoverinsa yleensä. Näiden itsestäänselvyyksien takaa paljastuu kuitenkin myös paljon merkittävää tietoa.
Jo ennen koulun alkua lapsilla on suhteellisen paljon tietoja tai taitoja ratkaista lukumääriin liittyviä ongelmia. Esimerkiksi alle viisivuotias oivaltaa varsin nopeasti opittuaan ottamaan laskuun ”kolmeen lisätään kaksi” ensin sormen kerrallaan (1–2–3, 1–2 ->1,2,...5 ->5), että ratkaisuun päästään yhtä hyvin ottamalla suoraan kolme sormea (3, 1–2->1,2,...5 ->5 tai 3, 4–5 ->5). Näiden taitojen hallinta luo pohjan koulumatematiikan oppimiselle. Kun länsimaisesta kymmenjärjestelmästä poikkeavien kulttuurien lapsille on opetettu kymmenjärjestelmään perustuvaa koulumatematiikkaa, niin nämä lapset ovat erityisesti peruslaskujen ratkaisemisen tukena käyttäneet omaan kulttuuriinsa liittyvää luettelemisjärjestelmää (ks. esim. Saxe 1985). Peruslaskutaitojen opettelussa pitäisikin, varsinkin niiden lasten kohdalla, joilla on oppimisen ongelmia, pyrkiä huomioimaan paremmin lapsen oma koulumatematiikasta usein poikkeava tapa ratkaista laskutoimituksia. Tästä esimerkkinä olisivat luettelemispohjaisten strategioiden hyväksikäyttö ja tarvittaessa erilaisten luettelemista tukevien apuvälineiden — ennen kaikkea sormien — käyttö.
Yhteenlaskun oppimisen kehityksen on kuvattu tapahtuvan vaiheittain siten, että lapsi oppii ensin hitaita, luettelemiseen perustuvia tapoja suorittaa laskutoimitus, mutta ajan mittaan löytää — oivalluksen kautta tai opetettuna — yhä tehokkaampia ja nopeampia tapoja ratkaista sama lasku. Onkin esitetty, että yksi taso arvioida lapsen matematiikan taitoja on tutkia, kuinka pitkällä lapsi on näiden erilaisten strategioiden kehityksessä. Luettelemispohjainen laskustrategia on luonnostaan hidas ja herkästi virheellinen mikäli lapsella on esim. tarkkaavaisuuden tai spatiaalisia vaikeuksia, jolloin lapsi saattaa kadottaa järjestyksen, jossa oli laskiessaan esim. sormiaan. Mikäli lapsi tekee paljon virheitä näissä alkeellisimmissa laskustrategioissa, hänen on vaikeampi siirtyä kehittyneempiin strategioihin. Erityisen häiritsevä vaikutus runsailla virheillä on ns. mieleenpalauttamisstrategian (retrieval) oppimisessa. Mieleenpalauttamisstrategialla tarkoitetaan nopeinta tapaa ratkaista yksinkertaisia laskuja: vastaus haetaan suoraan muistista. Muun muassa Ackerman, Anhalt ja Dykman (1986) havaitsivat, että tarkkaavuushäiriöisillä lapsilla oli vaikeuksia edetä tälle tasolle peruslaskutoimituksissa.
Eräiden tutkijoiden mukaan juuri toistuvat päätymiset oikeisiin vastauksiin ovat avain siihen, että lapselle syntyy peruslaskutoimituksissa monimutkaisempien ja monivaiheisten laskujen suorittamista helpottavia automatisoituneita muistirakenteita. Muun muassa Hamann ja Ashcraft (1986) tutkivat koulukirjojen yhteenlaskujen esiintymistiheyttä (välillä 0+0 - 9+9). Mitä useammin lasku esiintyi oppikirjassa, eli mitä useammin lapset sen joutuivat laskemaan, sitä useammin lapset pystyivät hakemaan sen suoraan muistista.
Baroody (1983) esitti, että nopein laskustrategia ei perustuisikaan automatisoituneisiin muistista haettaviin faktoihin (”4 + 3 = 7”), vaan proseduurien eli suoritusperiaatteiden automatisoitumiseen. Hänen mallinsa ei kuitenkaan ole saanut empiiristä tukea. Matematiikan oppimista on verrattu siinä mielessä kielen oppimiseen, että molemmat edellyttävät sekä automatisoituneita muistista haettavia faktoja (sanat - numerot ja aritmeettiset faktat) että proseduraalista tietoa suoritusperiaatteista (lauseenmuodostus eli kielioppi - laskusäännöt) (Ashcraft 1983). Aikuisellekin saattaa laskutoimitus 6 + 7 olla vaikeasti suoraan muistista haettavissa. Sen sijaan hän voi erittäin nopeasti pilkkoa sen osavaiheisiin, jotka ovat selkeämmin hahmotettavissa (6 + 7 = (7 + 3) + 3 = 10 + 3 = 13). Siten laskun prosessoinnissa yhdistyvät monet erilaiset proseduraaliset ja mieleenpalauttamiseen liittyvät komponentit.
Kuinka siirtymä strategioiden kehittyneempiin muotoihin tapahtuu? Vanhemmissa malleissa (muun muassa Siegler 1988b) esitettiin, että mieleenpalauttamisstrategian ja luettelemisalgoritmien välillä suoritetaan valinta sen mukaan, kumpi on muistissa dominoivampana. Saman tehtävän toistuva suorittaminen lisäisi mieleenpalauttamisen mahdollisuuksia nousta dominoivammaksi. Reaktioaikatestien perusteella rakennettujen mallien perusteella vaikuttaa kuitenkin siltä, että erilaiset strategiat ratkaista laskutoimitus aktivoituvat samanaikaisesti ja tavallaan juoksevat kilpaa kohti vastausta. Harjoituksen myötä mieleenpalauttamisstrategia vahvistuu ja nopeimpana voittaa kilpajuoksun. Siten erilaiset strategiat eivät ole toisiaan poissulkevia vaan toisiaan tukevia. Oletus, että esimerkiksi sormien avulla laskeminen hidastaisi lapsen pyrkimystä yrittää ratkaista laskuja mielessään, näyttäisi olevan erheellinen. Molemmat prosessit tapahtuvat samanaikaisesti ja lapsi luopuu visuo-motorisesta tuestaan, kun ei sitä enää koe tarvitsevansa. Varmuuden tunne osaamisesta lieneekin yksi keskeinen elementti laskustrategioiden kehityksessä.
Ennen nopeaa mieleenpalauttamista lapsi siis käyttää erilaisia hitaampia luettelemiseen pohjautuvia laskustrategioita. Varmuudentunne vastauksen oikeellisuudesta ohjaa käyttämään mieleenpalauttamisstrategiaa. Mikäli vastauksesta ollaan epävarmoja, turvaudutaan hitaampiin varmistusstrategioihin, jotka ovat niitä samoja, joita kehityksen aiemmassa vaiheessa käytettiin. Osa lapsista on persoonallisuudeltaan sellaisia, että heillä on tarve varmistaa, että he ovat päässeet oikeaan vastaukseen. Nämä lapset ovat suorituksissaan yhtä hitaita kuin lapset, joilla on vaikeuksia oppia nopeampia strategioita, mutta näiden kahden ryhmän ero onkin virheiden määrässä (Siegler 1988a).
Geary (1990) tutki kahta lapsiryhmää, joista toinen oli esikoulussa ohjattu matematiikan erityisopetusryhmään ja toinen oli normaalilla luokalla. Samat lapset tutkittiin uudelleen ensimmäisen kouluvuoden lopussa. Erityisopetusryhmästä puolet oli edistynyt ja puolella ei oltu havaittu edistystä. Ryhmästä riippumatta kaikki lapset käyttivät samoja laskustrategioita (sormistalaskeminen, mielessäluetteleminen ja suora mieleenpalauttaminen), mutta erosivat siinä, kuinka paljon he mitäkin strategiaa käyttivät. Erityisopetuksessa edistynyt ryhmä ei eronnut vuoden kuluttua enää normaaliryhmästä, mutta ryhmä, jolla ei ollut havaittu muutosta (ov-ryhmä), käytti edelleen samoja laskustrategioita kuin vuotta aikaisemmin ja niissä tilanteissa, joissa se käytti kehittynyttä mieleenpalauttamisstrategiaa, teki paljon virheitä. Mielenkiintoinen yksityiskohta oli, ettei ov-ryhmän numeroidenluettelemis- tai vastauksen mieleenpalauttamisnopeus eronnut kahden muun ryhmän nopeudesta, mutta niissä oli selvästi enemmän vaihtelua eri tehtävien kohdalla. Heidän laskutoimitusten ja numeroiden hallintansa oli hyvin epäsystemaattista.
Kymmenen kuukautta myöhemmin tehdyssä seurannassa (Geary ym. 1991) normaaliryhmällä ja edistyneellä ryhmällä oli tapahtunut selvä strategiamuutos kohti lisääntyvää mieleenpalauttamisstrategiaa. Oppimisvaikeusryhmä sen sijaan käytti edelleen hitaita luettelemispohjaisia strategioita, vaikkakin niiden käyttöön oli tullut nopeutta ja varmuutta. Mieleenpalauttaminen oli näillä lapsilla harvinaista ja usein virheellistä.
Lapsista, joilla on matemaattisia vaikeuksia, voidaan siten erottaa kaksi ryhmää. Osalla lapsista on kysymyksessä yleisempi hitaus kehityksessä ja oppimisessa. Usein he kuitenkin ajan mittaan saavuttavat kognitiivisen kehityksen myötä, harjoituksen ja erityisopetuksen avulla, samat perustaidot kuin muut ikäisensä. Heidän vaikeuksiaan matematiikassa kuvastaa hitaus, ja he käyttävät strategioita, jotka ovat tyypillisiä ikätasoa nuoremmille lapsille. Heidän opetuksessaan on tärkeintä tarjota riittävästi aikaa ja harjoitusta.
Toisaalta on lapsia, joita voidaan pitää varsinaisesti dyskalkulisina. Heille on tyypillistä kehittymätön strategioiden käyttö, jossa ei tapahdu merkittävää kehitystä harjoittelusta huolimatta, sekä runsaat virheet suorituksissa, erityisesti kehittyneempiä strategioita käytettäessä. Kognitiivisesti orientoitunut tutkimus osoittaa, että oppimisvaikeuksisen lapsen käyttämien strategioiden tutkiminen on tarkoituksenmukaista ja erityisen toimivaa käytettäessä tutkimusasetelmaa, jossa pyritään vaikuttamaan harjoittelulla lapsen suorituksiin.
