Mavalka

Mavalka I:stä ja II:sta laajemmin

Mavalkan tekijät matematiikan konsultoiva opettaja Anni Lampinen, matematiikan erityisopettaja Hannele Ikäheimo ja Marja Dräger kertovat Mavalkan ominaisuuksista ja käytöstä seuraavassa tarkemmin.

Mitä Mavalkalla saadaan selville?

Kartoituksen avulla saadaan selville oppilaan lukukäsitteen osa-alueiden hallinta: lukumäärän, lukusanan ja numeromerkinnän yhteys. Lisäksi kartoitetaan lukumäärien vertailun hallintaa (yhtä monta kuin, enemmän kuin ja vähemmän kuin) sekä tutkitaan lukumäärien lisäämistä ja vähentämistä.

Lukujonot-osiossa selvitetään

1. osaako lapsi kirjoittaa yksinumeroiset luvut suuruusjärjestyksessä,
2. mihin saakka hän osaa luetella lukuja,
3. osaako lapsi luetella lukuja keskeltä lukujonoa eteenpäin ja annettuun lukuun saakka tai annetun määrän verran,
4. osaako hän luetella lukuja takaperin.

Lisäksi selvitetään, osaako lapsi laskea esineiden lukumäärän Mavalka I:ssä yksitellen kymmeneen saakka ja Mavalka II:ssa pareittain 20:een saakka.

Pisteet kootaan lapsen kartoituksen kansilehdelle. Huolen raja on Mavalka I:ssä 24 pistettä 30 pisteestä ja Mavalka II:ssa 40 pistettä 50 pisteestä. Huolen rajan alapuolelle jääville oppilaille on syytä tarjota matematiikan erityisopetusta tai ainakin tukiopetusta. Mikäli oppilas saa Mavalka II:sta alle 30 pistettä, on hyvä tarjota hänelle mahdollisimman tehokasta tukea taitopuutteiden korjaamiseksi.

Pisterajojen ohella tuen tarpeen määrittelyssä kiinnitetään erityisesti huomiota lapsen tehtävien tekemisen tapaan. Oppilaan ottaessa selville esimerkiksi esineiden tai kuvioiden  lukumääriä kiinnitetään huomiota siihen, käyttääkö hän laskiessaan sormilla koskettamista, näkeekö hän lukumäärän kerralla nopeasti vai laskeeko hän katseellaan yksitellen. Lisäksi tarkkaillaan tekemisen sujuvuutta ja epävarmuutta, ohjeiden toistamisen tarvetta, tekemisen nopeutta ja lapsen omaehtoista matemaattista puhetta. Huomiota kiinnitetään myös siihen, kuinka oppilas muistaa juuri tekemiään tehtäviä. Osa tehtävistä kuormittaa työmuistia. Tehtävät eivät kuitenkaan mittaa työmuistia sinänsä.

Vaikka tehtävät olisivat olleet pääosin oikein ja pistemäärä ylittää huolenrajan, lapselle on syytä antaa lisätukea, jos tekemistä leimaa erityinen hitaus tai epävarmuus tai jos esimerkiksi ohjeita pitää usein toistaa. Mavalkasta opettaja saa suoraan tietoa siitä, mistä työskentely oppilaan kanssa kannattaa aloittaa.

Opetussuunnitelman perusteiden mukaan ensimmäisen luokan sisällöissä lukualueen 0–10 niin sanottujen hajotelmien hyvä hallinta on keskeistä. Hajotelma tarkoittaa sitä, että lapsi ymmärtää että joku luku voidaan hajottaa pienemmiksi luvuiksi ja, että luku voidaan hajottaa erilaisiin osiin (esimerkiksi luku kuusi voidaan hajottaa 4 + 2, tai 3 + 3 tai 5 + 1). Tätä taitoa tarvitaan, jotta päästään käsittelemään lukuja niin, että niitä voidaan käyttää peruslaskutoimituksissa mielekkäällä ja sujuvalla tavalla. Oppilaita on autettava kehittämään toimivia laskustrategioita. Sormin laskeminen ja yksitellen lukujen luetteleminen eivät ole tällaisia strategioita. Voidaan ajatella niin, että lukualueen 0–10 automatisoitunut hallinta on siis ensimmäisen luokan oppimisen keskiössä. Aritmeettisten laskutoimitusten hallinnan kartoitus tällä lukualueella kannattaa tästä syystä aloittaa ensimmäisellä luokalla, kun asiat on käsitelty opetuksessa systemaattisesti. Tällöinkin on tärkeää selvittää, mitä strategiaa oppilaat käyttävät laskiessaan. Pelkkä oikea oppilaan kirjoittama tulos ei siis vielä osoita taidon sujuvaa hallintaa.

Mittarin käyttötarkoitus

Mavalkassa on kaksi versiota:

Koska Mavalka I on lyhyempi ja kielellisesti yksinkertaisempi versio kuin Mavalka II, se sopii käytettäväksi silloin, kun lasten taitotasossa ja kielen hallinnassa on tavallista suurempia puutteita. Mavalka I soveltuu tehtäväksi erityisopetuksessa, starttiluokalla sekä esiopetusikäisten maahanmuuttajalasten kanssa lukuvuoden alussa ja/tai puolivälissä.

Mavalka II sopii käytettäväksi yleensä tavallisten lasten esiopetuksen alussa, puolivälissä ja lopussa sekä erityisesti ensimmäisen luokan alussa. Mavalka II soveltuu tehtäväksi erityisopetuksessa silloin, kun lapsella näyttää oleva suuria puutteita matematiikan valmiuksissa ylemmillä luokilla.

Mavalka-kartoituksen voi tehdä esiopettaja, erityisopettaja tai luokanopettaja.

Mittarin taustateoria

Mavalka on opettajille suunnattu, opetustyön suunnittelua tukeva pedagoginen työkalu. Se on syntynyt käytännön tarpeesta selvittää, mitä määrällisiä ja laadullisia matematiikan valmiuksia oppilailla on, kun he aloittavat esikoulun ja 1. luokan. Mavalka auttaa esiopetuksessa opettajaa suunnittelemaan opetuksensa sisältöä siten, että se mukautuisi lasten senhetkisiin valmiuksiin. Mikäli ryhmän valmiudet näyttävät hyviltä, opetus voi edetä nopeastikin. Mutta mikäli lasten lähtötasossa on puutteita, voidaan opetus sekä esiopetuksessa että 1. luokalla suunnitella siten, että taitoja kehitetään hitaasti ja perusteellisesti. Mavalka seuloo ne lapset, jotka tarvitsevat matematiikan erityisopetusta tai tukiopetusta ensimmäisen luokan alussa. Oppilaan taitojen kehittymistä on mahdotonta ennustaa täysin varmasti koulun oppimispolun alussa. Tästä syystä oppilaiden taitojen kehittymistä on seurattava jatkuvasti. Mavalka ei sovellu oppilaiden taitotason selvittämiseen enää ensimmäisen luokan kevätlukukaudella.

Kartoituksen tehtävien taustalla on matematiikan opetussuunnitelman perusteet (2004), joissa on kuvattu sekä opetuksen tavoitteet että sisältöalueet. Tästä syystä osa tehtävistä perustuu opetussuunnitelmassa esitettyihin osaamisen kriteereihin. Mukana on myös tehtäviä, joiden avulla voidaan nykyisten tutkimustulosten mukaan ainakin jossakin määrin ennustaa myöhempiä oppimisvaikeuksia (Aunola & Nurmi, 2004; Lerkkanen & Poikkeus, 2006; Kinnunen, 2003).

Kartoituksessa Lukujonot-osio pohjautuu lukujonotaitojen kehittymisen malliin (ks. esim. Fuson, 1992; Kinnunen, 2003). Lukujonotaitojen kehittymisessä voidaan erottaa toisistaan eri tasoja: ensimmäisessä vaiheessa lapsi osaa lukusanat loruna, toisessa vaiheessa lapsi käyttää lukusanoja lukumäärän selville saamiseksi, kolmannessa vaiheessa lapsi kykenee käyttämään lukujonoa karttuvan määrän laskemisessa. Neljännessä vaiheessa lapsi ymmärtää, että lukujono on suuruusjärjestyksessä olevien lukujen jono, viidennessä vaiheessa lapsi ymmärtää lukujonon lukumäärien jonoksi, jolloin lapsi kykenee mm. hajottamaan lukuja ja irrottautumaan lukujen luettelemisesta yksitellen.

Kartoituksessa selvitetään lapsen kykyä tunnistaa pieniä lukumääriä visuaalisesti, laskematta. Ihmisillä ja joillakin eläimillä on niin sanottu subitisaatiokyky eli kyky hahmottaa pieniä lukumääriä ilman, että lukumäärä lasketaan yksitellen. Tätä taitoa voidaan hyödyntää matematiikan oppimisessa monin tavoin.

Tehtävissä ei seurata sitä, kiinnittääkö lapsi spontaanisti huomiota lukumääriin (ks. esim. Hannula, 2005; Hannula & Lehtinen, 2005), mutta jos lapsi tekee kartoituksen aikana omaehtoisesti huomioita esimerkiksi lukumäärien yhteyksistä, ne kaikki kirjataan muistiin. Lapsi saattaa vaikkapa lukumäärän 4 nähdessään innostua kertomaan, että hänellä on neljä veljeä.

Kartoituksessa on mukana myös Lukumäärän säilyvyys -osio. Piaget’n säilyvyystestejä on olemassa useita erilaisia. Göttingenin yliopiston matematiikkaklinikalla (ks. lisätietoa MD-matematiikkaterapia) käytettiin versiota, jossa on kaksi kymmenen helmen sarjaa, joiden lukumääriä ei saa verrata laskemalla. Tätä versiota käytetään myös Mavalkassa. Versio poikkeaa mm. ”Diagnostiset testit 3. Motivaatio, metakognitio ja matematiikka” -testin (Salonen, 1994) tavasta selvittää, kuinka oppilaat ymmärtävät lukumäärän säilymistä. Tutkijat ovat esittäneet viime vuosina paljon kritiikkiä Piaget’n lukumäärän säilyvyysominaisuuden merkityksestä matemaattisen ajattelun kehittymisessä (ks. esim. Dehaene, 1997). Tehtävä on tutkijoiden esittämästä kritiikistä huolimatta sisällytetty kartoitukseen.

Tehtävien muodostaminen ja mittarin rakenne

Mavalkaa on kehitelty noin viiden vuoden ajan. Sen kokeilussa on ollut mukana kymmeniä opettajia sekä satoja lapsia sekä esikoulusta että koulusta. Kokemusten perusteella tehtäviä on valikoitu ja opettajan antamia suullisia ohjeita muutettu selkeämmiksi ja monipuolisemmiksi. Osa tehtävistä on analysoitu Jyväskylän yliopistossa (Kuivamäki, 2006).

Mavalka on kriteeripohjainen kartoitus, ei testi. Tehtävät on osittain valikoitu 1. luokan syksyn tyypillisistä tehtäväsisällöistä. Lukujonotehtävät noudattavat osaksi suomalaisissa tutkimuksissa käytettyjä lukujonotehtävien tyyppejä (Salonen, 1994; Dufva, 2007). Lukujonotaitoja kartoitetaan sekä suullisesti, kirjallisesti että esineitä laskemalla. Lukumäärän säilyvyysominaisuutta selvitetään Göttingenin yliopistossa kehitellyn Piaget’n lukumäärän säilyvyys -testin avulla.

Mavalkasta on tehty vaikeustasoltaan kaksi eri versiota. Mavalka I:n tehtävien määrä on pienempi ja siinä olevissa tehtävissä käytetään pienempää lukualuetta ja yksinkertaisempaa kieltä kuin Mavalka II:ssa.

Mavalka I:ssa ja II:ssa on kummassakin kolme osaa:

• Lukukäsite
• Lukujonotaidot
• Lukumäärän säilyvyys

Mavalka-kartoitus tehdään yhdelle lapselle kerrallaan. Ryhmämuotoisissa kynä-paperitehtävissä jää helposti saamatta selville, miten lapsi ajattelee, minkälaisia keinoja hän käyttää matematiikan tehtävissä ja kuinka sujuvaa tekeminen on. Kokemus on osoittanut, että mikäli lähtötason kartoituksessa käytetään apuna vain kirjallisia tehtäviä ja yleistä ryhmän havainnointia, oppilaan osaamisen tapaa ei saada riittävästi selville. Oppilaan saama hyvä kokonaispistemäärä saattaa antaa liian myönteisen kuvan osaamisesta.

Mittarin luotettavuus – reliabiliteetti ja validiteetti

Ensimmäisen osion lukukäsitettä mittaavat tehtävät on muokattu suomalaisten matematiikan 1. luokan oppikirjojen, unkarilaisen Varga–Neményi-opetusmenetelmän 1. luokan tehtävätyyppien ja MD-matematiikkaterapiassa käytettävien tehtävien pohjalta.

Lukujonotaitojen kartoitus noudattelee suomalaisia vastaavia lukujonotehtävätyyppejä (katso esim. Kinnunen, 2003; Dufva, 2007).

Lukumäärän säilyvyysominaisuutta selvitetään Piaget’n tehtävätyypin (Piaget, 1970) mukaan. Tehtävätyyppiä on muokattu siten, että siinä käytetään 20:ta helmeä 12:n sijaan. Tätä tapaa käytettiin Göttingenin yliopiston matematiikkaklinikalla.

Vinkkejä käyttäjille

Mavalka I:n tekeminen kestää noin 10–15 minuuttia lasta kohden.

Mavalka II:n lyhyt versio – vain Lukujonot-osio – vie aikaa noin 5 minuuttia. Mikäli tehdään Lukukäsite-osio ja Lukujonot-osio, aikaa menee noin 10–15 minuuttia lasta kohden. Pitkä versio eli koko Mavalka II vie aikaa noin 20–25 minuuttia.

Mavalka-kansiossa on mukana monistettavat tehtäväpaperit, ryhmän koontilomakkeet, tarvittavat konkreettiset välineet (helmet, kuva- ja numerokortit sekä viivain) sekä 40-sivuinen opettajan ohje. Opettajan ohjeessa on useimmat lasten kartoitussivut ohjeineen, ja siellä kerrotaan tehtävien taustasta ja opetuksen suunnittelusta.

Mavalka-tehtävien ja opettajan ohjeen perusteella opettaja pystyy suunnittelemaan lapsille yksilöllistä ja ryhmässä annettavaa lisätukea. Lisäopetusta tulee antaa monipuolisilla välineillä, käyttämällä useita aistikanavia, liikkeitä, esineitä ja kuvia. Oppilaan taitojen kehittymistä voidaan hyvin seurata ja arvioida lisäopetuksen kuluessa. Opettajan harkintaan jää, tarvitaanko enää uudelleenmittausta Mavalkan tapaan. Mavalkassa ei ole rinnakkaistehtäväsarjoja.

Lähteet

Aunola, K., & Nurmi, J.-E. 2004. Eskareista epuiksi -tutkimus: motivaation ja koulutaidon kehitys esiopetuksesta kouluun. NMI Bulletin, 3, 7–12.

Dehaene, S. (1997). The number sense. New York, Oxford University Press.

Dufva, M. (toim.) (2007). KIMARA. Oppimistutkimuksen keskus, Turun yliopisto.

Fuson, K. (1992). Research on learning and teaching addition and subtraction of whole numbers, teoksessa Leinhardt, G., Putnam, R. and Hattrup. R.A. (toim.) Analysis of arithmetic for mathematics teaching, s. 53 – 187. Hillsdale, N.J: Lawrence Erlbaum Assosiates

Hannula, M. M. (2005). Spontaneous Focusing on Numerosity in the Development of Early Mathematical Skills. Väitöskirja, Turun yliopiston julkaisuja, Sarja B (282).

Hannula, M. & Lehtinen, E. (2005). Spontaneous focusing on numerosity and mathematical skills of young children. Learning and Instruction 15(3):237 - 256.

Kinnunen, R.(2003). Miksi kertotauluun kompastuu? Lukujen hallinta oppimisen perustana. Oppimistutkimuksen keskus, Turun yliopisto.

Kuivamäki, E. (2006). Lukumäärään liittyvien varhaisten matemaattisten taitojen kehitys esiopetusvuoden aikana. Pro gradu –tutkielma. Opettajankoulutuslaitos, Jyväskylän yliopisto.

Lampinen, A. , Ikäheimo, H. & Dräger. M. (2007). MAVALKA eli Matematiikan valmiuksien kartoitus. Helsinki: Opperi.

Lerkkanen, M-K. & Poikkeus, A-M. (2006). Lukemisvamiuksien ja matemaattisten taitojen kehityksen riskitekijät esiopetusvuonna – Alkuportaat-tutkimuksen pilottivaiheen tuloksia. NMI-Bulletin, 3, 4-12.

Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet (2004). Opetushallitus, Helsinki.

Piaget, J. 1970. Die Genese der Zahl beim Kind. Teoksessa Westermann Taschenbuch (toim.) Rechenunterricht und Zahlbegriff. Braunschweig: Westermann

Salonen, P., Lepola, J., Vauras, M., Rauhanummi, T., Lehtinen, E. & Kinnunen, R. (1994). Diagnostiset testit 3. Motivaatio, metakognitio ja matematiikka. Oppimistutkimuksen keskus, Turun yliopisto.