Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen

Matemaattis-loogiset taidot

Nuorimpien lasten kehityksessä keskeisiä matemaattis-loogisia taitoja ovat esimerkiksi sarjoittaminen, vertailu, luokittelu ja yksi yhteen -suhde.

Sarjoittaminen liittyy tiukasti lukujonon ja sen ordinaali- (järjestysluku-) ja kardinaali- (perusluku-) piirteiden ymmärtämiseen. Kehityksen alussa sarjoittamisen tehtävissä lapsia voidaan pyytää järjestämään esineet korkeus- taikka suuruusjärjestykseen. Myöhemmin voidaan lapselta kysyä, mikä luku puuttuu sarjasta 4, 5, 6, _, 8, 9 taikka sarjasta 6, 8, 10, _, 14, 16. Sarjoittaminen on kiinteästi yhteydessä lukujonotaitoihin ja lukujen ordinaali- (järjestysluku) ja kardinaali- (perusluku) piirteiden ymmärtämiseen.

Taito vertailla sisältyy monenlaiseen matemaattiseen ongelmanratkaisuun ja on tarpeen esimerkiksi silloin, kun lapsi tekee päätelmiä eroista koossa tai lukumäärissä. Se on oleellinen myös luvun säilymisen ymmärtämisessä, kuten esimerkiksi tehtävissä, joissa palikkajonon pituutta muutetaan siirtämällä palikoita kauemmas toisistaan  tai palkoiden järjestystä vaihdellaan ja lapselta kysytään, muuttuuko palikoiden lukumäärä kun näin tehdään.

Taito luokitella on myös hyvin keskeinen matemaattisessa ongelmanratkaisussa. Luokittelua on esimerkiksi se, kun lapsi ennen ryhtymistä esineiden lukumäärän laskemiseen päättää, mitä esineitä pitää laskea: mitkä kuuluvat luokkaan laskettavat ja mitkä luokkaan ei-laskettavat. Luokittelun taito vaatii lapselta kykyä nähdä eroja ja yhtenäisyyksiä esineiden välillä, ja näiden yhteiden ja erilaisten ominaisuuksien perusteella ryhmitellä esineitä (ja lukuja).

Vertailujen ja päätelmien tekeminen lukumäärien eroista edellyttää että lapsi myös hallitsee tähän liittyvät käsitteet, esimerkiksi enemmän ja eniten, vähemmän ja vähiten sekä yhtä monta. Myös lukujen ominaisuudet, kuten esimerkiksi parilliset ja parittomat luvut, tulevat tärkeiksi.

Yksi yhteen -suhde tarkoittaa sitä että lapsi ymmärtää laskusanan merkitsevän tiettyä lukumäärää (yksi tarkoittaa yhtä esinettä, kaksi kahta jne.). Käytännössä tämä tarkoittaa esimerkiksi sitä että jos kolme henkilöä haluaa matkustaa junalla, junassa on oltava kolme vapaata paikkaa. Lapsi käyttää yksi yhteen-suhdetta laskiessaan lukumääriä. Lapsi luettelee lukujonoa eteenpäin samalla kun osoittaa tai koskettaa yhtä esinettä kerrallaan (yksi, kaksi, kolme...). Lapsi ymmärtää että jokainen laskusana yhdistetään yhteen esineeseen, ja tällä tavalla voi määritellä kuinka monta esinettä kokonaisuudessa on.

Yksi yhteen-suhde on ollut matemaattis-loogisista taidoista tutkituin aihe kymmenen viime vuoden aikana (esim. Graham, 1999; Muldoon, Lewis & Freeman, 2003; Muldoon, Lewis & Towse, 2005; Pepper & Hunting, 1999; Mix, 1999). Kuten lukumäärän laskemisen taidon yhteydessä todettiin, yksi yhteen -suhteen hallintaa tarvitaan, jotta laskeminen onnistuisi. Yksi yhteen -suhteen hallintaa tarvitaan myös silloin, kun jaetaan esineitä tai kun tehdään päätelmiä siitä, onko eri kokonaisuuksissa yhtä monta esinettä.

Aritmeettiset periaatteet

Kirjallisuudesta löytyy neljä erityyppistä aritmeettista periaatetta, joiden oppiminen on liitetty aritmeettisten perustaitojen oppimiseen. Joskus näihin viitataan yhteisnimellä osa–kokonaisuus-suhteiden ymmärtäminen (Canobi, Reeve & Pattison,  2002; Wilkins, Baroody & Tiilikainen, 2001).

Ensimmäinen tärkeä periaate on se, että kokonaisuudet muodostuvat pienemmistä osista. On tärkeä ymmärtää, että esimerkiksi luku kuusi voidaan muodostaa seuraavin tavoin: 5 + 1, 4 + 2 ja 3 + 2 + 1. Lukujen hajottaminen ja kokoaminen on tärkeä harjoite tämän periaatteen omaksumisessa. Tätä periaatetta käytettään myöhemmin myös suurempien lukujen hajottamisessa ja kokoamisessa, esim. kymmenparin käyttäminen yhteenlaskussa 8 + 6 -> 8 + (2 + 4) = (8 + 2) + 4 = 10 + 4 TAI 8 + 6 -> (4 + 4) + 6 = 4 + (4 + 6) = 4 + 10.

Toinen opittava periaate on se, että yhteenlaskettavat ja kerrottavat voidaan laskea yhteen missä tahansa järjestyksessä ja aina saadaan sama tulos eli a +/x b = b +/X a (kumulatiivisuus- eli vaihdannaisuuslaki). Tätä lähellä on kolmas periaate, jonka mukaan yhteenlasku ja kertolasku voidaan hajottaa uudelleen osiin ja laskea osat yhteen uudella tavalla eri järjestyksessä ja silti saadaan sama tulos eli (a + b) + c = a + (b + c) (liitännäisyys- eli assosiatiivisuuslaki).

Neljäntenä periaatteena on käänteisyyden periaate: yhteen- ja vähennyslasku ovat toisilleen käänteisiä eli ne kumoavat toisensa. Esimerkiksi 3 + 1 - 1 = 3. Samoin kerto- ja jakolasku ovat toisilleen käänteisiä. Esimerkiksi 3 x 2 : 2 =3

Näiden kolmen periaatteiden ymmäräminen ja soveltaminen auttaa lasta kehittämään joustavia ja monipuolisia laskustrategioita.

Paikka-arvon ja kymmenjärjestelmän ymmärtäminen

Kun lapsi etenee yhteen- ja vähennyslaskujen harjoittelussaan, hän alkaa käyttää suurempia lukuja kuin yhdeksän. Tällöin lapsen täytyy oivaltaa, että luvun todellinen arvo riippuu siitä, mistä numeroista luku koostuu ja millä paikalla numerot ovat luvussa. Numeron paikka kymmenjärjestelmässä määrää luvun suuruuden, esimerkiksi onko numero ykkösten, kymmenten vai satojen paikalla. Luvuissa 5, 50 ja 500 numero viiden merkitys on eri (viisi ykköstä, viisi kymmentä ja viisi sataa). Numeroiden paikkojen muuttaminen muuttaa lukua kokonaa (vertaa lukuja 123, 132, 213, 231, 312 ja 321). Lapsi voi hyödyntää tietoa numeroiden paikka-arvosta erilaisissa laskuissa, jos lapsi esimerkiksi tietää että 5+4=9 (viisi ykköstä plus neljä ykköstä on yhdeksän ykköstä) hän voi käyttää tietoa laskiessaan 500+400 (viisi sataa plus neljä sataa) tai 0,05+0,04 (viisi sadasosaa plus neljä sadasosaa). Paikka-arvon ja kymmenjärjestelmän ymmärtäminen auttaa lasta kehittämään ja käyttämään tehokkaita ja monipuolisia laskustrategioita.

Kymmenjärjestelmää ja paikka-arvon ymmärtämistä on tutkittu ei-kielellisten systeemien kautta (Donlan & Gourlay, 1999) kansainvälisissä vertailututkimuksissa keskittyen kielen lukusanajärjestelmään ja/tai oppimiskulttuuriin tai opetuskäytäntöihin (Miura et al., 1987, 1989, 1993, 1994; Cheng-Zijuan & Chan, 2005; Saxton & Towse, 1998; Rasmussen, Ho, Nicholadis, Leung & Bisanz, 2006) sekä opetusinterventioissa (Varelas & Becker, 1997).

Keinoja ja harjoituksia paikka-arvon ja kymmenjärjestelmän periaatteiden ymmärtämisen tukemiseen

Matemaattisten symbolien hallinta

Koulumatematiikassa lapsen haasteena on oppia käyttämään matemaattisia symboleita. Alkuopetuksen matemaattinen kielenkäyttö harjaannuttaa lapsia käyttämään symboleita, kun vertaillaan, mikä on suurempi kuin (>), pienempi kuin (<), yhtä suuri kuin (=) tai eri suuri kuin (=/). Sen lisäksi, että lapsi oppii kuvaamaan lukumääriä symboleilla (numeroilla), hän harjaantuu siis käyttämään muitakin formaalin matematiikan symboleita.