Moninumeroisilla luvuilla laskeminen

Moninumeroisilla luvuilla laskeminen

Taitavan moninumeroisilla luvuilla laskemisen edellytyksenä voidaan ajatella olevan toisaalta se, että osaa laskea hyvin yksinumeroisia lukuja, ja toisaalta se, että hallitsee hyvin lukujonon, luvun paikka-arvon ja kymmenjärjestelmän. Näitä tietoja yhdistämällä lapsen on mahdollista oppia tehokkaita strategioita moninumeroisilla luvuilla laskemiseen ja valitsemaan eri strategioita joustavasti tilanteen mukaan. Paikka-arvon ja kymmenjärjestelmän ymmärtäminen tarkoittaa, että tietää numeroiden paikan määrittävän luvun suuruusluokan. Esimerkiksi luvuissa 5, 50 ja 500 numeron viiden merkitys on eri (viisi ykköstä, viisi kymmentä ja viisi sataa). Hyödyntämällä tätä tietoa lapsi voi soveltaa yskinumeroisilla luvuilla opeteltua tietoaan, sen sijaan että tarvitsee opetella uusia faktoja. Lapsi voi hyödyntää tietoa, että 5+4=9 (viisi ykköstä plus neljä ykköstä on yhdeksän ykköstä), kun hän laskee esimerkiksi 500+400 (viisi sataa plus neljä sataa on yhdeksän sataa).

Yksinumeroisilla luvuilla laskemisen lisäksi moninumeroisilla luvuilla laskemisessa pitää tuntea laskuvaiheet ja laskemisjärjestys sekä osata ohjata ja valvoa monivaiheisten laskujen suoritustapaa. Moninumeroisilla luvuilla laskeminen voidaan jakaa pienempiin osiin: numerosymbolien tunnistamiseen, osavastausten muistamiseen tai laskemiseen, osavastausten pitämiseen muistissa ja niiden yhdistämiseen vastauksen saamiseksi.

Moninumeroiset laskut voidaan jakaa kahtia sen perusteella, onko luvut esitetty vierekkäin (eli päässälaskumuodossa) vai allekkain. Päässälaskumuodossa esitettyjen laskujen ratkaisemiseen voi käyttää laajempaa ratkaisutapojen kirjoa, ja lapsi on osittain voinut kehitellä niitä jo ennen kouluopetusta. Tässä luvussa käydään ensin läpi päässälaskustrategioita ja tämän jälkeen tarkastellaan allekkainlaskua koskevia strategioita.

Päässälaskustrategiat yhteen- ja vähennyslaskussa

Moninumeroisilla luvuilla laskemista ja laskustrategioiden kehittymistä tarkastelevia pitkittäistutkimuksia on tehty hyvin vähän. Pääosin tutkimukset ovat niin kutsuttuja poikkileikkaustutkimuksia, joissa on selvitetty, millaisia strategioita tietynikäiset lapset käyttävät. Pitkittäistutkimuksissa on havaittu, että osa lapsista kehittää erilaisia laskemisen strategioita jo ennen koulua (Carpenter ym., 1997). Se on yhteydessä luvun paikka-arvon vahvempaan hallintaan: itsekseen strategioita kehitelleet lapset ymmärtävät paikka-arvon muita lapsia selvemmin.

Sekä lasten että aikuisten on havaittu käyttävän yhteen- ja vähennyslaskuissa useita erilaisia strategioita. Joissakin laskuissa vastauksen voi hakea suoraan muistista. Yleisemmin kuitenkin moninumeroisia lukuja lasketaan vaiheittaisena prosessina. Laskustrategioita on useita, ja englanninkielisessä kirjallisuudessa käytettävät nimikkeet ovat kirjavia. Laskustrategioita voidaan myös luokitella eri tavoin. Tässä osiossa käytetään jakoa pilkkomiseen ja muuntamiseen (ks. taulukko 1).

Muunnokseen pohjaavissa strategioissa lähtökohtana on, että lasku muutetaan ensin helpompaan muotoon esimerkiksi pyöristämällä toinen tai molemmat tekijöistä tasakymmeniksi tai tasasadoiksi ja lopuksi vähentämällä tai lisäämällä tarvittava määrä. Pilkkomiseen pohjautuvat strategiat voidaan puolestaan jakaa edelleen sen mukaan, pilkotaanko lasku kokonaan eri yksiköihin vai osittain (Lemaire & Callies 2009). Tässä lapsi hyödyntää tietoaan paikka-arvosta ja kymmenjärjestelmästä, ja pilkkoo luvut esimerkiksi kymmeniin ja ykkösiin. Lapsi tunnistaa myös esimerkiksi kymppiparit, ja osaa soveltaa tietoaan. Strategiat eroavat myös sen suhteen, lisätäänkö yksiköt sarjallisesti vai lasketaanko samaa yksikköä olevat ensin yhteen, jonka jälkeen eri yksiköistä saadut osasummat yhdistetään. Eniten on tutkittu kahta pilkkomiseen pohjautuvaa strategiaa.

Taulukko 1. Laskun pilkkominen ja muuntaminen.

Päässälaskustrategioita ei voi asettaa paremmuusjärjestykseen. Laskustrategian toimivuuteen vaikuttavat aina laskun piirteet, kuten kymmenylitysten määrä ja tekijöiden suuruus. Sekin vaikuttaa, kuinka hyvin laskija sattuu minkäkin strategian hallitsemaan. Taitava laskija erottuukin juuri siinä, miten tehokkaasti hän pystyy mukautumaan laskun vaatimuksiin ja löytämään itselleen sopivimman laskustrategian. Heikompi laskija sen sijaan ei pysty samoissa määrin valitsemaan sopivia strategioita, vaan käyttää ainoana strategianaan esimerkiksi laskun pilkkomista, mikä ei kymmenylityksiä sisältävissä laskuissa ole välttämättä helpoin ja tehokkain tapa. Lasten on tärkeä saada tutkia lukuja, jotta lukujen pilkkominen ja muuntaminen sujuisi ongelmitta, ja lapsi kehittäisi monipuolisia ja joustavia strategioita. Sujuvien laskustrategioiden kehitykseen vaikuttaa myös aritmeettiset periaatteet, esimerkiksi osa-kokonaisuus-suhde ja käänteisyyden periaate (näitä taitoja tarkastellaan osiossa ”Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen”).

Allekkainlaskun algoritmit yhteen- ja vähennyslaskussa

Allekkainlaskun algoritmejakin on monia niin yhteen- kuin vähennyslaskussa. Pääsääntöisesti algoritmeissa edetään oikealta vasemmalle (ensin lasketaan ykköset, sitten kymmenet ja sadat) tai vähennetään ylemmästä luvusta alempi. Enemmän variaatiota tuleekin sen suhteen, merkitäänkö kymmenylitykset eli muistiluvut ja lainaamiset näkyviin vai ei, ja jos merkitään, niin mihin ja miten. Suomessa perinteisimmin opetetussa tavassa muistiluvut merkitään ylös lukuyksikköä vastaavaan sarakkeeseen (esim. laskussa 6 + 7 = 13 luku 3 merkitään ykkösten sarakkeen alapuolelle ja luku 1 merkitään kymmenten sarakkeen yläpuolelle). Toinen tapa on merkitä molemmat luvut alas, jolloin suurempaa yksikköä edustava luku 1 tulee allekkainlaskuviivan kohdalle yksikköä vastaavaan sarakkeeseen. Tällaisen merkitsemistavan etua on perusteltu sillä, että osavastaus tulee merkittyä selkeämmin, kun eri yksiköt säilyvät lähekkäin (luvun 13 numerot ovat siis vierekkäin eivätkä toinen ylhäällä ja toinen alhaalla). Tutkimukseen perustuvaa näyttöä ei kuitenkaan ole siitä, että yksi algoritmi olisi toista parempi. Merkitsemistavalla ei sinänsä ole eroa, pääasia että lapsi ymmärtää merkityn numeron merkitysen.

Algoritmia voidaan lukea myös vasemmalta oikealle. Silloin eri yksiköiden yhteenlasketut summat pannaan allekkain ja lasketaan lopuksi yhteen. Tällöin esimerkiksi laskussa 345 + 238 viivan alle merkitään 500 + 70 + 13. Tämä tapa voi tukea päässälaskustrategioiden (luvun pilkkominen) ja allekkainlasku algoritmin yhtäläisyyttä.

Allekkainlaskualgoritmin opettamisessa on tärkeää seurata, ettei se jää mekaanisesti ulkoa opituksi laskuvaihdeiden ketjuksi, jolloin lapsi laskee koko ajan yksinumeroisilla luvuilla lukualueella 1–20 eikä ymmärrä luvun paikka-arvoa eikä muistiluvun ja lainaamisen todellista merkitystä. Paikka-arvon ja kymmenjärjestelmän ymmärrystä on tärkeä painottaa ja harjoittaa monipuolisesti. Perinteisen allekkainlaskun algoritmit toimivat huonosti päässälaskuissa erityisesti silloin, kun laskuissa pitää tehdä kymmenylityksiä. Siksi allekkainlaskualgoritmin lisäksi pitää opetella tehokkaita päässälaskustrategioita ja keskittyä sujuvaan laskemiseen lukualueella 1-20, ennenkuin edetään allekkainlaskemiseen.