Yksinumeroisilla luvuilla laskeminen

Aritmeettisten taitojen yleinen kehitys

Aritmeettisten taitojen, yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskutaidon, kehittymistä voidaan kuvata eri laskustrategioiden käytön kautta (esim. Baroody, 1984; Fennema, Carpenter, Jacobs, Franke & Levi, 1998; Fuson, 1984; Geary, Bow-Thomas, Liu & Siegler, 1996), sillä laskustrategioiden käytössä voidaan nähdä tietty kehityksellinen järjestys. Osana laskutaidon kehittymistä lapsi keksii uusia laskustrategioita ja voi samalla jättää jonkin varhemmin oppimansa strategian pois käytöstä. Laskutaidon kehittymistä voidaankin kuvata erilaisten strategioiden suhteellisen osuuden avulla, esimerkiksi seuraamalla, missä määrin lapsi hakee vastauksia muististaan ja missä määrin ratkaisee ne luettelemalla laskien.

Eri laskutoimitusten välillä on eroa sen suhteen, miten paljon niiden opettelussa painottuu muistista haku tai erilaiset laskemisen strategiat. Esimerkiksi kertotaulun opettelu pohjaa vahvimmin ulkoaoppimiseen ja siinä muistista hakeminen on keskeisin strategia. Vastaavasti vähennyslaskussa ja jakolaskussa ulkoaoppiminen ei ole yhtä merkittävä apukeino ja niitä ratkotaan suhteessa enemmän erilaisten laskustrategioiden avulla käyttäen apuna yhteenlaskua ja kertolaskua.

Myös eri laskutoimitusten sisällä lapsi yleensä käyttää erilaisia strategioita; strategian valintaan vaikuttavat esimerkiksi laskun tekijät. Jo esikouluiässä lapsi saattaa muistaa ulkoa vastaukset osaan ”pienistä” laskuista, joiden summa on alle kymmenen. Vastaavasti osa laskuista, joissa vaaditaan kymmenen ylitystä (8 + 7, 6 + 9), ovat hankalampia, ja vanhempikin lapsi saattaa joutua ratkaisemaan ne laskemalla ulkoa muistamisen sijaan. Eri aritmeettisissa operaatioissa luvun 0 ja 1 sisältävien laskujen (esim. 4 + 0 tai 6 x 0) ajatellaan olevan poikkeuksellisia siinä mielessä, että niiden opettelu näyttäisi muita laskuja vahvemmin nojaavan sääntöihin, kuten ”jos lukuun lisätään tai siitä vähennetään nolla, on vastauksena luku itse”.

Lapsen käyttämät strategiat saadaan selville seuraamalla lapsen laskemista ja pyytämällä häntä selittämään, miten hän on ratkaissut jonkin laskutehtävän. Tavallisesti lapsilla on käytössään useita erilaisia strategioita. Sujuvaa laskijaa kuvaa se, että hän pääasiassa palauttaa nopeasti vastauksen muistista, mutta kykenee myös tarvittaessa valitsemaan muista strategioista sopivimman. Niillä lapsilla, joilla on matematiikan oppimisen vaikeuksia, on pääasiallisessa käytössä vain hitaita luetteluun pohjautuvia strategioita. Aritmeettisten yhdistelmien muistamiseen perustuvat ratkaisumallit ovatkin näille lapsille usein vaikeita. Tutkimukset osoittavat, että vaikeus oppia ja muistaa aritmeettisia yhdistelmiä on luonteeltaan varsin pysyvä eivätkä vaikeudet laskemissa häviä iän myötä itsestään vaan tukitoimia tarvitaan. Lapsi tarvitseekin aikuisen ohjausta oppiakseen nopeampia ja tehokkaampia laskemisen strategioita (ks. osiosta tukitoimet).

Yhteen- ja vähennyslaskutaidon kehittyminen

Yhteen- ja vähennyslaskutaidot kehittyvät asteittain. Laskutaito kehittyy luetteluun pohjautuvan laskemisen kautta kohti aritmeettisten yhdistelmien muistamista. Lapsi käyttää ja kokeilee laskustrategioita spontaanisti ja oppii niitä myös kouluopetuksessa (Steinberg, 1985; Thornton, 1978; Thornton 1990). Vähennyslaskustrategiat ovat lapselle vaikeampia kuin yhteenlaskustrategiat – sekä spontaanisti että kouluopetuksessa opittaviksi (Steinberg, 1985). Vähennyslaskuissa pitää muistissa pitää useampia vaiheita kuin yhteenlaskussa. Vähennyslaskustrategioiden käytössä auttaa yhteen- ja vähennyslaskun välisen suhteen ymmärtäminen.

Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen yhteen- ja vähennyslaskussa

Aluksi lapsi ratkoo laskutehtäviä lukujen luetteluun pohjautuvien strategioiden kautta. Lapsi laskee aluksi konkretian ja visuaalisen tuen avulla (kuten esineet, sormet ja piirtäminen) ja siirtyy sitten käyttämään pelkästään mielessä tapahtuvaa laskemista lukujonoja luettelemalla (Ostad, 1999; Siegler & Shrager, 1984; Siegler, 1987). Strategian käytössä voidaan erotella myös se, miten lapsi laskee luettelemalla eli kuinka paljon lukuja lapsi luettelee ja mistä luvusta hän lähtee laskemisessaan liikkeelle.

Alkuvaiheessa lapsi laskee laskun kaikki tekijät yksitellen esineillä tai sormilla ja samoin myös vastauksen (esim. 2 + 4 à 1, 2 ― 1, 2, 3, 4 ― 1, 2, 3, 4, 5, 6). Myöhemmin lapsi aloittaa laskemisen keskeltä lukujonoa (2 + 4 à 2 ― 3, 4, 5, 6). Tässä vaiheessa lapsen lukujonotaidot ovat kehittyneet niin, että luettelun aloittaminen keskeltä lukujonoa on mahdollista. Tehokkaammasta tavasta laskea kertoo se, että lapsi luettelee mahdollisimman vähän lukuja, esimerkiksi aloittaa laskemisen suuremmasta luvusta (esim. 2 + 4 à 4 ― 5, 6). Lapsen kanssa on hyvä käydä läpi yhteenlaskun vaihdannaisuuslakia (yhteenlaskettavien järjestys ei muuta laskun vastausta, 2 + 4 = 4 + 2). Tällöin lapsi voi oppia hyödyntämään sitä laskemisessaan. Vähennyslaskussa saman hyödyntäminen edellyttää yhteenlaskun yhteyden ymmärtämistä. Esimerkiksi laskussa 9 - 7 on nopeampaa ja tehokkaampaa laskea seitsemästä eteenpäin yhdeksään (8, 9 à vastaus on 2) kuin laskea taaksepäin yhdeksästä seitsemän pois (8, 7, 6, 5, 4, 3, 2). Kun lapsi ei käytä enää laskemisen tukena esineitä, joutuu hän pitämään muistissaan sekä tietoa siitä, kuinka monta hän on jo lisännyt tai vähentänyt, sekä siitä, mikä missäkin laskuvaiheessa on vastaus (esim. 5 + 3 à 1 lisää on 6, 2 lisää on 7, 3 lisää on 8).

Laskujen ratkaiseminen mielessä luetteluun pohjautuvien strategioiden avulla on siis monivaiheinen suoritus. Laskujen ratkaiseminen edellyttää lapselta monia yhtäaikaisia toimintoja ja asioiden pitämistä muistissa. Siksi on tärkeää, että lapsi osaa luetella sujuvasti eteen- ja taaksepäin lukujonoa ja aloittaa luettelemisen annetusta luvusta (Baroody, 1984).

Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen on työlästä, hidasta ja virhealtista. Lapsi käyttää kuitenkin esimerkiksi sormiaan laskemisen tukena, kunnes on kehittynyt taidoissaan niin, että pystyy laskemaan vain mielessään ja myöhemmin hakemaan nopeasti aritmeettisia yhdistelmiä muististaan.

Lukujen luetteluun pohjautuvat strategiat yhteenlaskussa

Konkretia tai visuaalinen tuki laskemisen apuna
(mukailtu Ostad, 1999)

Mielessä tapahtuva laskeminen
(Carpenter & Moser, 1984)

Lukujen luetteluun pohjautuvat strategiat vähennyslaskussa

Konkretia tai visuaalinen tuki laskemisen apuna
(mukaeltu Ostad, 1999)

Mielessä tapahtuva laskeminen
(mukaeltu Fuson, 1984 ja Ostad, 1999)

Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen yhteen- ja vähennyslaskussa

Kun lapsi käyttää laskustrategioita onnistuneesti yhteen- ja vähennyslaskuissa, laskun tekijöiden ja vastauksen välille muodostunut yhteys vahvistuu vähitellen (Barrouillet & Fayol, 1998; Siegler & Shrager, 1984). Tällöin lapsi voi palauttaa muististaan suoraan laskun vastauksen (esim. 2 + 3 = 5). Toisaalta lapsi voi käyttää osaamiaan aritmeettisia yhdistelmiä hyväkseen ratkaistessaan laskutehtäviä. Lapsi voi johtaa laskun vastauksen jonkin tuntemansa yhdistelmän kautta (esim. 6 - 3 = 3, joten 6 - 4 = 2, koska luku neljä on yhden suurempi kuin luku kolme). Lapsi voi myös pilkkoa laskun osavaiheisiin ja koota laskun uudelleen niin, että käyttää hyväkseen tuntemiaan yhdistelmiä ja tietojaan lukujärjestelmästä, kuten 7 + 5 à 7 + (3 + 2) à 10 + 2 = 12.

Eräiden tutkijoiden mukaan (mm. Putnam ym., 1990; Thornton, 1990; Carpenter & Moser, 1984) laskun johtaminen toisen laskun kautta voi edesauttaa aritmeettisten yhdistelmien oppimista ja suoraan muistista palauttamista. Esimerkiksi lapselle opetetaan ensin muihin laskuihin nähden melko helposti opittavat ns. tuplat (yhteenlaskettavana on kaksi kertaa sama luku, esim. 4 + 4) ja niitä hyödyntämällä opetetaan muita lähellä olevia aritmeettisia yhdistelmiä (kuten 4 + 4 = 8, joten 4 + 5 = 9). Toisen laskun kautta johtamista sekä lukujen osavaiheisiin pilkkomista voidaan havainnollistaa aluksi lapselle konkreettisilla tai visuaalisilla materiaaleilla.

Yleensä lapset oppivat käyttämään muistista palautettavia yhdistelmiä pääasiallisena laskustrategianaan noin yhdeksään ikävuoteen mennessä (Ashcraft & Fierman, 1982; Brauwer, Verguts, & Fias, 2006; Lemair & Siegler, 1995). Laskustrategioiden kehittyneimmällä tasolla lapsi palauttaa laskun vastauksen muististaan nopeasti (noin 2–3 sekunnissa). Näitä suoraan muistista palautettavia yhdistelmiä lapsi voi käyttää apuna laskemisessaan sellaisissa laskuissa, joihin hän ei vielä muista vastausta. Kun suuria lukuja lasketaan allekkain, pienten laskujen ulkoamuistaminen on entistä tärkeämpää. Jos laskeminen ei käy sujuvasti lukualueella 0–20, on allekkainlaskujenkin tekeminen hidasta. Ylipäätään lukualueella 0–20 sujuva, automatisoitunut laskeminen on edellytys suurten lukujen laskemiseen.

Toisen laskun kautta johtaminen yhteenlaskussa

(mukailtu Steinberg, 1985)

Toisen laskun kautta johtaminen vähennyslaskussa

Yhteenlaskun kautta tapahtuvia johtamisia vähennyslaskussa
(mukailtu Steinberg, 1985)

Vähentämisen kautta tapahtuvia johtamisia vähennyslaskussa:

Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen yhteenlaskussa

Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen vähennyslaskussa

(Steinberg, 1985)

Keinoja yhteenlaskustrategioiden opettamiseen
Keinoja vähennnyslaskustrategioiden opettamiseen

Kerto- ja jakolaskutaidon kehittyminen

Kertolasku poikkeaa yhteen- ja vähennyslaskusta siinä mielessä, että oppimisprosessi on suoraviivaisempi ja harjoittelussa korostuukin suuremmassa määrin ulkoa opettelu. Kertolaskutaidon tyypillisessä kehityksessä keskeinen ratkaisutapa heti taidon opettelun alkuvaiheesta lähtien on vastauksen hakeminen suoraan muistista.

Aritmeettisista operaatioista selkeästi vähiten tutkittu on jakolasku. Alussa lapset näyttäisivät tukeutuvan toistuvaan yhteenlaskuun, mutta kertolasku nousee nopeasti yleisimmäksi tavaksi ratkaista jakolasku. Jakolaskutaidon kehittymisen kannalta keskeistä onkin kertolaskun hyvä hallinta sekä kerto- ja jakolaskun välisen yhteyden ymmärtäminen. Käytännössä jakolaskujen laskeminen on hyvin hankalaa ja työlästä, ellei lapsi hallitse kertolaskuja. Tämä on tärkeä pitää mielessä, kun mietitään, mistä laskutaidon tukemisessa lähdetään liikkeelle.

Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen kerto- ja jakolaskussa

Kertolaskun opettelun alkuvaiheessa lapset käyttävät melko yleisesti strategianaan toistuvaa yhteenlaskua ja lukujonon luettelemista tietyn askeleen välein. Osa lapsista pystyy ääneen tai mielessään liikkumaan lukujonossa ilman visuaalista tukea esimerkiksi viiden askelen välein (esim. 4 x 5 à 5, 10, 15, 20). Lapset voivat käyttää myös sormiaan tukena luettelussa, esimerkiksi auttamaan pysymään selvillä, montako harppausta lukujonossa on menty (”viisi” à yksi sormi, ”kymmenen” à toinen sormi jne.). Osa lapsista ei pysty kuitenkaan liikkumaan lukujonossa harppauksittain vaan joutuu ratkomaan kertolaskuja laskemalla yksitellen. Lapsi esimerkiksi piirtää ryhmiä viivoista ja laskee niitä. Kertolaskun ratkaisemisessa yksittäisten esineiden tai viivojen laskeminen ei ole mielekästä, vaan tällöin ensisijaisena lähtökohtana on tukea lapsen lukujono- ja yhteenlaskutaitoa sekä selkeyttää kertolaskun käsitettä.

Jakolaskussa luettelupohjaisiin strategioihin voidaan puolestaan laskea toistuva yhteenlasku, jossa jakajaa lasketaan yhteen, kunnes saavutetaan jaettava, tai vähennyslasku, jossa puolestaan jaettavasta vähennetään jakajan osoittamaa määrää, kunnes päädytään nollaan. Näitä kahta muistuttava strategia on ryhmittely, jossa lapsi ratkaisee, kuinka monta jakajan suuruista ryhmää jaettavasta saadaan.

Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen kerto- ja jakolaskussa

Kertolaskussa yleisimmäksi strategiaksi nousee melko nopeasti aritmeettisten yhdistelmien hakeminen suoraan muistista. Kansainvälisissä tutkimuksissa on osoitettu, että jo toisella luokalla muistista hakeminen on yleisin ratkaisutapa ja lapset käyttävät sitä yli puolessa kertolaskuista. Neljännellä luokalla (noin 9 vuoden iässä) lapset ratkaisevat kertolaskut suurimmaksi osaksi (noin 70–80-prosenttisesti) hakemalla vastauksen muistista.

Toisena muistista hakuun pohjautuvana strategiana kertolaskussa on toisen laskun avulla johtaminen.

Jakolaskussa käytettyjä muistiin pohjautuvia strategioita ovat vastauksen hakeminen suoraan muistista, laskeminen kertolaskun avulla sekä laskun jakaminen pienempiin helpommin ratkaistaviin laskuihin. Jakolasku näyttäisi olevan aritmeettisista operaatioista ”vähiten automatisoituva”. Esimerkiksi Kanadassa tehdyssä tutkimuksessa vähän vanhemmatkin oppilaat (kuudes–seitsemäsluokkalaiset) käyttivät vastauksen hakemista muistista jakolaskustrategianaan selvästi harvemmin kuin kertolaskua.