Lasten tavanomainen kehitys
Aritmeettiset perustaidot
Fennema ja hänen kollegansa (1998) tutkivat oppilaiden (n=132) aritmeettisia strategioita ensimmäisellä, toisella ja kolmannella luokalla. Tarkastelun kohteena oli oppilaiden itse kehittämät yhtälönratkaisutavat (algoritmit) ja toisaalta koulussa opetettavat yhtälönratkaisutavat (standardit algoritmit) ja niihin liittyvä käsitteellinen ymmärtäminen. Tutkijat havaitsivat, että sellaisilla oppilailla, jotka aloittivat aritmeettisten tehtävien ratkaisemisen itse keksimillään tavoilla, oli ensin kehittynyt käsitteellinen ymmärrys niistä. Sen sijaan monille sellaisille oppilaille, jotka aloittivat aritmeettisten tehtävien ratkaisemisen standardeilla algoritmeillä, näytti kehittyvän käsitteellinen ymmärrys operaatioista myöhemmin. Aritmeettisten strategioiden käytössä oli sukupuoliero: tytöt käyttivät enemmän konkreettisia esineitä ja laskemisstrategioita ongelmanratkaisunsa tukena, kun taas pojat käyttivät abstraktimpia strategioita kuten faktojen muistista palauttamista taikka itse keksimiään strategioita – kolmannella luokalla tytöt käyttivät selvästi enemmän standardeja algoritmeja kuin pojat.
Ransdell ja Hecht (2003) tutkivat oppilaiden (n=100) taitoja toisella, kolmannella ja neljännellä luokalla. Tutkijat havaitsivat, että ikä on selkeä matematiikan ja lukemisen taidon ennustaja koko seurannan ajan, toisin sanoen iän karttuessa myös taidot lisääntyivät. Tämän lisäksi myös työmuistia mittaava laskujänne (eli kyky toistaa annettua lukusarjaa) ja sen kehitys ennustivat hyvin neljännen luokan matemaattisia taitoja. Valitettavasti tutkijat mittasivat matemaattisia taitoja vain neljännellä luokalla ja käyttivät testissä ainoastaan summapistemäärää (Florida Comprehension Assessment Test Calculation). Tämän takia raportista ei voi päätellä, millaisia matemaattisia tehtäviä laskujänne ennusti.
Aritmeettiset perustaidot ja laskemisen taidot
Onatsu-Arvilommi ja Nurmi (2000) tutkivat lasten (n=105) suoritusstrategioita ja matemaattista osaamista mittaamalla heidän taitojaan kolme kertaa ensimmäisen luokan aikana. Tulokset osoittivat, että suoritusstrategiat kuten tehtävään keskittyminen eivät ennustaneet matemaattisia taitoja. Sen sijaan huono lukutaito ja heikot matemaattiset taidot näkyivät myös lasten taipumuksena käyttää strategioita, jotka eivät johtaneet onnistuneeseen tehtävänratkaisuun.
Vaikka tutkijat keskittyivätkin summapistemääriin, he raportoivat myös muutamia tietoja osatehtävistä. Niistä näkyi, että matemaattiset osatehtävät (joihin sisältyy luvun ordinaalisuus, yhteen- ja vähennyslasku sekä sanalliset tehtävät, joihin taas kuuluu matemaattis-loogista päättelyä ja sanallisia yhteen- ja vähennyslaskukysymyksiä) olivat yhteydessä tehtävästrategioihin (tehtävän kannalta epärelevantti toiminta, avuttomuus, yrityksen puuttuminen) ja kielen osaamiseen (tavun tunnistaminen, tekstin ymmärtäminen I, tekstin ymmärtäminen II; Kananoja, 1995). Näiden yhteyksien tarkastelu tuottaa muutaman mielenkiintoisen havainnon: perusvähennyslaskutaito ei näytä olevan yhteydessä tehtävänratkaisustrategiaan ja toisaalta sanalliset tehtävät ja tehtävänratkaisustrategiat olivat yhteydessä keskenään vain muutamina mittaushetkinä. Näyttääkin siltä, että matemaattiset taidot poikkeavat toisistaan siinä, mitkä tekijät ovat yhteydessä niiden kehitykseen ja mitkä eivät. Tulevaisuudessa parempi kehitysdynamiikan tunteminen auttaa ymmärtämään matemaattisia oppimisvaikeuksia.
Fayol, Barrouillet ja Marinthe (1998) tutkivat, kumpi testistö ennustaa paremmin matematiikan pulmia, neuropsykologiset vai kehityspsykologiset testit. Lasten (n=172) taitoja mitattiin kerran ensimmäisellä luokalla (ikä 5 v 9 kk, vastaa suomalaista esikoulua) ja kerran toisella luokalla (ikä 6v 5 kk, vastaa suomalaista ensimmäistä luokkaa). Molemmat testistöt ennustivat hyvin, millaisia lasten aritmeettiset taidot olivat toisella luokalla, kuitenkin niin, että kehityspsykologiset testit eivät ennustaneet aritmetiikan ongelmanratkaisukykyä. Neuropsykologiset ennustivat hyvin lukumäärän laskemisen taitoa ensimmäisellä luokalla. Aritmetiikassa suoriutumiseen ensimmäisellä luokalla vaikutti ikä eli taitojen harjoitteleminen. Myös nämä tulokset osoittivat, että matemaattisten taitojen kehitystrendit ovat keskenään erilaisia, vaikka niillä onkin paljon yhteistä, sillä esimerkiksi lukumäärän laskemisen taito on paremmin ennustettavissa neuropsykologisilla kuin kehityspsykologisilla tekijöillä.
Kurdek ja Sinclair (2001) mittasivat lasten (n=281) taitoja esikoulussa ja neljännellä luokalla. Tulosten mukaan esikoululaisten kielelliset taidot ennustivat matemaattisia taitoja hyvin. Tämä tulos ei ollut yllätys, sillä neljännen luokan matematiikan mittari sisälsi yhteensä yhdentoista eri osa-alueen tehtäviä, monet niistä vaativat ratkaisijalta myös hyvää kielellistä taitoa. Esikoulun testistössä oli kaksi osatestiä, jotka yksinään pystyivät ennustamaan neljännen luokan matemaattista osaamista, ne olivat kuullun muistaminen ja lukumäärän laskeminen. Myös tässä tutkimuksessa lukumäärän laskemisen taito koulun alussa on myöhemmän matemaattisen taidon ennustaja.
Jordan, Kaplan, Locuniak ja Ramineni (2007) tutkivat lasten (n=277) matemaattisia kykyjä mittaamalla heidän taitonsa neljä kertaa esikoulussa ja kaksi kertaa ensimmäisellä luokalla. Tutkijoiden matematiikan mittari sisälsi monta erilaista sisältöaluetta: lukujonon luettelemisen taidoista mitattiin muun muassa lukujonon luettelemista, numeron tunnistamista, kykyä nimetä mikä luku tulee lukujonossa tietyn luvun jälkeen, lukumäärän laskemista tarkastelemalla laskemisperiaatteiden hallintaa, ei-kielellistä käsitystä lukumääristä tutkimalla lasten kykyä päätellä mikä lukumääristä on suurempi sekä aritmetiikan perustaitoja käyttämällä sanallisia tehtäviä. Näiden tehtävien lisäksi ensimmäisen luokan matemaattista osaamista mitattiin Woodcock-Johnsonin Calculation and Applied Problems -testillä (Woodcock-Johnson Test of Achievement; Woodcock, McGrew & Mather, 2001). Tulokset osoittivat, että se, miten hyvin lapsi hallitsi matemaattiset taidot esikoulussa ja niiden kehitys esikouluvuoden aikana, selitti yli puolet (66 %) siitä, kuinka hyvin matematiikkaa hallittiin ensimmäisellä luokalla.
Tutkijat erittelivät aineistosta kolme lapsiryhmää sen mukaan, mikä oli lasten matemaattisen osaamisen taso esikoulussa ja miten se kehittyi: alhainen taso – tasainen kehitys; keskinkertainen taso – jyrkkä tason nousu ja korkea taso – tasainen kehitys. Sellaisia lapsia, joilla oli heikko sosiaalinen tausta (eli vanhemmilla alhainen koulutus- ja tulotaso), oli eniten ryhmässä alhainen osaaminen – tasainen kehitys. Myös sukupuolissa oli eroa, sillä pojilla oli paremmat matemaattiset taidot esikoulussa ja ensimmäisellä luokalla kuin tytöillä.
Kun tuloksia tarkastellaan yksittäisten osatehtävien tasolla, havaitaan, että kaikki osatestit ennustivat hyvin ensimmäisen luokan matemaattista osaamista. Poikkeuksena oli kuitenkin laskemisen osio (johon sisältyi lukujonotaidot ja lukumäärän laskeminen), sillä se ei ennustanut myöhempää matematiikan menestystä. Tämä tulos on mielenkiintoinen, kun sitä verrataan muihin tutkimuksiin, joissa usein käytetään vain lukujonon luettelua taikka lukumäärän laskemisen tehtäviä ennustamaan myöhempää osaamista (esim. Koponen, Aunola, Ahonen ja Nurmi, painossa). Tässä yhteydessä on kuitenkin hyvä muistuttaa siitä, että Jordan, Kaplan, Olah ja Locuniak (2006) ovat raportoineet samaa osaskaalaa koskevista luotettavuusongelmista. Onkin siis mahdollista, että lukujonon luettelun taidot ja lukumäärän laskemisen taito ovat hyviä ennustetaitoja, mutta Jordanin ja hänen kollegoidensa kehittämä mittari mittaa niitä huonosti. Asiasta tarvitaan selkeästi lisää tutkimusta siten, että ennustamiseen käytetään muitakin kuin puheena olleita taitoja. Kaiken kaikkiaan tutkimus kuitenkin osoittaa tärkeän asian, nimittäin sen, että esiopetuksen alussa ja aikana osattu matematiikka on merkityksellinen myöhemmän matematiikan oppimisen kannalta.
Aritmeettiset perustaidot, laskemisen taidot ja matemaattiset suhdetaidot
Aunola, Leskinen, Lerkkanen ja Nurmi (2004) tutkivat lasten (n=196) matemaattisia taitoja kaksi kertaa esikoulussa, ensimmäisellä luokalla ja toisella luokalla. Jokaisella mittauskerralla mitattiin lukujonotaitoja (ordinaali- ja kardinaalilukujen hallinta, numeroiden tunnistaminen), lukumäärän laskemisen taitoa, matemaattisia suhdetaitoja ja aritmetiikan perustaitoja (yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku) sanallisissa tehtävissä ja yhtälöinä. Tutkijat asettivat kognitiiviseksi ennustajaksi esikoulussa laskutaidon, jota mitattiin seuraavilla lukujono-tehtävillä: lukujen luettelu, lukujonon luetteleminen eteen- ja taaksepäin sekä lukujonon luettelemisen jatkaminen annetusta luvusta.
Tulokset osoittivat, että ensinnäkin lasten osaamisen väliset erot kasvoivat, kun he siirtyivät esikoulusta peruskouluun. Toisena tuloksena oli, että matemaattiset taidot kehittyivät nopeimmin niillä lapsilla, joilla jo esikouluun tullessaan oli ollut hyvät taidot, ja hitaampaa vuorostaan niillä, joiden aloitustaso oli ollut heikko. Kolmantena tuloksena oli se, että esikoulun alussa kognitiiviseksi ennustajaksi asetettu lukujonotaidon mittari ennusti hyvin ei vain osaamisen tasoa vaan myös kehityksen nopeutta. Valitettavasti käytössä ollut matematiikan taitopistemäärä sisälsi hyvin erilaisia matematiikan taitoja (lukujonotaitoja, lukumäärän laskemisen hallinta, suhdetaidot ja aritmetiikan perustaidot) ja tekijät käyttivät vain näiden summapistemäärää. Tämän takia on vaikea tietää, mitkä näistä taidoista ennustivat myöhempää osaamista parhaiten.
Koponen, Aunola, Ahonen ja Nurmi (painossa) tutkivat lasten (n= 178) laskemisen taitoja ja aritmeettisia perustaitoja (lukujonotaitoja, yhteen- ja vähennyslaskutaitoa yksinnumeroisilla luvuilla sekä vaiheittaista yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskua moninumeroisilla luvuilla) sekä niiden yhteyttä lukemisen taitoon ja muihin kognitiivisiin taitoihin esikoulussa ja neljännellä luokalla. Tulokset osoittivat, että nopea sarjallisen nimeämisen testin tulos ennusti lukujonon luettelemisen taitoa esikoulussa ja neljännen luokan yhteen- ja vähennyslaskutaitoa yksinumeroisilla luvuilla. Tämän lisäksi nopea sarjallisen nimeämisen kyky ennusti edellisten taitojen yhteyttä lukutaitoon.
Kyky palauttaa pitkäaikaisesta muistista kielellistä ja visuaalista tietoa ennusti oppilaiden yhteen- ja kertolaskukykyä neljännellä luokalla sekä näiden kykyjen yhteyttä lukutaitoon. Tämä tulos tarkoittaa sitä, että neljännen luokan yhteen- ja kertolaskutaito yksinumeroisilla luvuilla on yhteydessä oppilaiden kielelliseen kykyyn, toisin sanoen kielelliset pulmat todennäköisesti heikentävät näiden taitojen kehitystä. Sen sijaan esikoulun lukujonotaidot ja äidin koulutus ennustivat kykyä suorittaa yhteen- ja vähennyslaskuja sekä kerto- ja jakolaskuja moninumeroisilla luvuilla, joiden ratkaiseminen edellyttää kykyä edetä tehtävässä vaiheittain. Tutkijat korostivat myös tutkittujen aritmeettisten taitojen hierarkkisuutta. Yksinumeroisilla luvuilla operoiminen sisältyy moninumeroisilla luvuilla suoritettaviin aritmetiikan tehtäviin, ja niissä menestymistä selittävät eri kognitiiviset tekijät (esim. muisti ja kielellinen kyky).
Jyväskyläläinen tutkijaryhmä on raportoinut useita tutkimuksia siitä, miten motivationaaliset ja vanhempiin liittyvät tekijät ovat yhteydessä lasten matemaattisten taitojen kehitykseen esikoulussa sekä ensimmäisellä ja toisella luokalla.
Aunola, Leskinen ja Nurmi (2006) esittelevät tutkimuksen, jossa 196 lapsen taitoja mitattiin kerran esikoulussa, kaksi kertaa ensimmäisellä luokalla ja yhden kerran toisella luokalla. Tulosten mukaan hyvä suoriutuminen matemaattisissa tehtävissä (lukujonotaidot, lukumäärän laskemisen taito, matemaattisten suhteiden ymmärtäminen sekä yksinkertaiset yhteen- ja vähennyslaskutaidot) lisäsi lasten motivaatiota ratkaista matemaattisia tehtäviä, mikä vuorostaan paransi heidän suoritustaan tehtävissä. Tämän lisäksi lasten motivaatio ratkaista matematiikan tehtäviä lisääntyi sellaisissa luokissa, joissa opettaja korosti motivaation tai hyvän minäkuvan kehittymistä.
Aunola, Nurmi, Lerkkanen ja Rasku-Puttonen (2003) selostivat tutkimustaan, jossa he tutkivat 111 lapsen matemaattista osaamista viisi kertaa ensimmäisen luokan aikana. Heidän tulostensa mukaan sellaiset lapset, joilla on korkea tehtäväorientaatio, menestyivät hyvin matemaattisissa tehtävissä (tehtävissä mitattiin lukujonotaitoja, matemaattisia suhdetaitoja ja yhteen- ja vähennyslaskutaitoja). Vanhempien luottamus omien lastensa koulumenestykseen ja erityisesti matematiikkaan lisäsi lasten hyvää suoriutumista matemaattisissa tehtävissä.
Aunola ja Nurmi (2006) mittasivat 169 lapsen taitoja kaksi kertaa esikoulussa, kaksi kertaa ensimmäisellä ja kaksi kertaa toisella luokalla. Tulosten mukaan jos lapsen äiti oli toimistotyöntekijä tai ylempi toimihenkilö, lapsen matemaattiset taidot olivat paremmat kuin niiden lasten, joiden äidit olivat työläisammateissa. Se, miten äiti kontrolloi lapsensa käytöstä, vaikutti lapsen matematiikan tehtävissä suoriutumiseen yhdessä kiintymyksen kanssa. Vaikuttaa kuitenkin siltä, että jos äidin erityisen vahvaan kiintymykseen liittyi vahva psyykkinen käytöksen kontrollointi, lapsen menestyminen matemaattisissa tehtävissä oli heikkoa. Voisi olettaa, että tämän piirteen vaikutus näkyisi myös muissa kuin matemaattisissa tehtävissä, mutta sitä ei tutkittu Aunolan ja Nurmen tutkimuksessa.
Huntsinger, Jose, Larson, Krieg ja Shaligram (2000) tutkivat kulttuurien välisessä vertailututkimuksessaan 40:tä eurooppalais-amerikkalaista ja 40:tä toisen sukupolven kiinalais-amerikkalaista lasta. Lasten taidot mitattiin 5½-, 7½- ja 9½-vuotiaina. Tulokset osoittivat, että kiinalais-amerikkalaiset lapset menestyivät matematiikan tehtävissä paremmin kuin eurooppalais-amerikkalaiset lapset kaikkina mittaushetkinä. Tutkijat selittivät tulosta sillä, että kiinalais-amerikkalaisten lasten vanhemmat suosivat taitojen varhaista ja myös kurinalaista harjoittelua enemmän kuin eurooppalais-amerikkalaisten lasten vanhemmat.
Molemmat tutkijaryhmät, Aunola ja muut sekä Huntsinger ja muut, käyttivät analyyseissään matematiikan kokonaispistemääriä, jotka oli saatu laskemalla yhteen hyvin erilaisten matemaattisten tehtävien pisteet. Tämä vaikeuttaa tulkintaa siitä, miten eri taustatekijät vaikuttavat erilaisiin matemaattisiin taitoihin. Merkittävä tulos on kuitenkin se, että motivaatioon ja vanhempiin liittyvät tekijät vaikuttavat lasten matematiikan osaamisen jo esi- ja alkuopetuksessa.
Aritmetiikan perustaidot, laskemisen taidot, matemaattiset suhdetaidot ja lukumääräisyyden taju
Jordan, Kaplan, Oláh ja Locuniak (2006) tutkivat 411 lapsen oppimissaavutusten paranemista matemaattisissa tehtävissä. Lapset tulivat keskiluokan tai alemman sosiaaliluokan perheistä. Matemaattisen taidon mittari sisälsi monta tehtävää, jotka mittasivat erilaisia matemaattisia tehtäviä, muun muassa lukumäärän laskemisen tehtäviä, lukujonon luettelemisen taitoa, suhdetaitoja, lukumääräisyyden tajua sekä yhteen- ja vähennyslaskutehtäviä. Tutkijat ryhmittelivät lapset sen mukaan, mikä oli heidän osaamisensa taso esikoulun alussa, ja toisaalta sen mukaan, kuinka paljon osaaminen kehittyi esikoulun aikana. Tuloksena oli kolme ryhmää: oli lapsia, joilla oli heikko alkuosaaminen ja hidas kehitys, sekä sellaisia, joilla oli hyvä alkuosaaminen ja keskinkertainen kehitys, sekä sellaisia, joilla oli hyvä alkuosaaminen ja hidas kehitys.
Selkeän riskiryhmän muodostivat ne lapset, joilla alkutaso oli heikko ja kehitys hidasta. Sellaiset lapset, jotka tulivat keskiluokan kodeista, suoriutuivat koko testissä ja kaikissa osatehtävissä paremmin kuin ne lapset, jotka tulivat alemman sosiaaliluokan perheistä. Kehitysvauhti oli samanlainen molemmissa sosiaaliryhmissä, paitsi sanallisissa yhteen- ja vähennyslaskutehtävissä, joissa alemman sosiaaliluokan lapset menestyivät muita lapsia heikommin. Tämä tulos viittaa siihen, että jo koulu-uran alussa lapset eroavat matemaattisten taitojen tasossa ja joskus myös kehityksessä. Tälle kehitykselle kodin tuki on merkittävä tekijä.
Laskemisen taito ja lukumääräisyyden taju
Hannula ja Lehtinen (2005) tutkivat 39 lapsen matemaattisia taitoja mittaamalla niitä 3½:n, 5:n ja 6 vuoden iässä. Matemaattisista taidoista mitattiin spontaania huomion kiinnittymistä lukumääriin, lukumäärän laskemisen taitoa ja lukujonon luettelemisen taitoa. Tulokset osoittivat, että lapset erosivat toisistaan sen mukaan, kuinka paljon he spontaanisti kiinnittivät huomiota lukumääriin, ja että taipumus (sekä erot siinä) näytti olevan aika pysyvä. Spontaani lukumäärien huomaaminen oli yhteydessä lukumäärän laskemisen taitoon.
Toisessa tutkimuksessaan Hannula, Räsänen ja Lehtinen (2007) tarkensivat edellisiä tuloksia tutkimalla 39 lapsen taitoja 4- ja 5-vuotiaana. Tulokset osoittivat, että sellaiset lapset, joilla oli pysyvä taipumus kiinnittää spontaanisti huomiota lukumääriin, kykenivät määrittämään suurempia lukumääriä ei-kielellisesti viisivuotiaana kuin muut lapset. Tämän lisäksi heillä oli parempi lukumäärän laskemisen taito.
Van der Heyden, Boussard ja Cooley (2006) tutkivat 82 lapsen matemaattisten taitojen kehitystä mittaamalla heidän taitojaan 5- ja 6-vuotiaana. Tulokset osoittivat, että viisivuotiaan lukujonotaidot selittävät mitatuista taidoista eniten lukumäärän laskemisen taitoa kuusivuotiaana. Toinen vahva yhteys löytyi lukumäärän laskemisen taidon välillä viisi- ja kuusivuotiaana. Kolmanneksi olivat yhteydessä numeron tunnistaminen viisivuotiaana ja lukumäärän laskemisen taito kuusivuotiaana.
Yhteenveto
Yhteenvetona voidaankin todeta, että hyvin kehittyneen lukumäärän laskemisen pohjalla on erilaisia sopivia ominaisuuksia, kuten esimerkiksi taipumus kiinnittää spontaanisti huomiota lukumääriin, lukujonon luettelemisen taito sekä kyky ymmärtää nähdyn numeron kardinaali merkitys.
