Räkning med flersiffriga tal

Räkning med flersiffriga tal

En förutsättning för att skickligt kunna räkna med flersiffriga tal kan antas vara dels att man behärskar räkning med ensiffriga tal, och dels att man behärskar talraden samt positions- och tiobassystemet. Genom att förena dessa kunskaper är det möjligt för barnet att lära sig framgångsrika strategier för räkning med flersiffriga tal, samt smidigt välja mellan olika strategier i olika situationer. Att förstå positionssystemet och tiobassystemet betyder att barnet vet siffrornas platser definierar talets storlek. T.ex. jämfört med talen 5, 50, 500 är det första talet olik (fem ettor, fem tior och fem hundra). Genom att utnyttja denna kunskap kan barnet tillämpa inlärt kunskap om ensiffriga tal i stället för lära sig nya fakta. Således kan barnet utnyttja kunskapen att 5+4=9 (fem ettor plus fyra ettor är nio ettor) när han eller hon räknar t.ex. 500+400 (fem hundra plus fyra hundra är nio hundra).

Förutom att behärska räkning med ensiffriga tal kräver räkning med flersiffriga tal att man känner till ordningsföljden och de olika skedena vid räkning, samt att man klarar av att styra och övervaka räkneoperationer som görs i flera steg. Räkning med flersiffriga tal kan uppdelas i mindre delområden: att känna igen siffersymboler, att komma ihåg eller räkna ut delsvar, att kvarhålla delsvaren och förena dessa för att få svaret.

Flersiffriga uträkningar kan indelas i två kategorier utgående från huruvida talen presenteras bredvid varandra (dvs. i huvudräkningsform) eller under varandra (dvs. som uppställning). Vid uträkningar som presenteras i huvudräkningsform kan en större variation i valet av räknestrategier användas, och barnet har delvis kunnat lära sig dessa redan innan skolundervisningen. I detta kapitel gås först huvudräkningsstrategierna igenom och därefter granskas strategier som gäller uppställning.

Huvudräkningsstrategier vid addition och subtraktion

Longitudinella studier gällande räknestrategier med flersiffriga tal förekommer mycket sparsamt. Merparten av studierna är så kallade tvärsnittsstudier i vilka man utrett hurdana strategier barn i en viss ålder använder. I longitudinella studier har det påvisats att en del av barnen utvecklar olika räknestrategier redan innan skolan (Carpenter m.fl. 1997). Detta har samband med bättre behärskande av talens platsvärde: barn som på egen hand har utvecklat strategier förstår även positionsvärdet i decimalsystemet bättre än andra barn.

Det har konstaterats att såväl barn som vuxna använder flera olika strategier för addition och subtraktion. I några räkneuppgifter kan svaren hämtas direkt ur minnet. Vanligare är ändå att räkna flersiffriga tal stegvis. Det finns flera olika strategier och bruket av benämningarna som används i engelskspråkig litteratur brokigt. Strategierna kan kategoriseras på flera olika sätt. Här används en indelning i spjälkning och transformering (se tabell 1).

Strategierna som baseras på transformering utgår ifrån på uträkningen först ändras till en enklare form, t.ex. genom att avrunda den ena eller båda termerna till jämna tiotal och till slut addera eller subtrahera den mängd som behövs. Strategierna som baseras på spjälkning kan i sin tur indelas vidare beroende på om hela uträkningen spjälks eller bara en del av uträkningen spjälks (Lemaire & Callies 2009). Då utnyttjar barnet sin kunskap om positions- och tiobassystemet och spjälker talen t.ex. till tior och ettor. Barnet igenkänner även tioparen och kan tillämpa sin kunskap. Strategierna skiljer sig också på basen av huruvida termerna adderas som serier eller om likadana enheter adderas först och därefter sammanställs de erhållna delsummorna.  Forskningen har främst koncentrerat sig på två strategier som baseras på spjälkning.

Huvudräkningsstrategierna kan inte rangordnas utgående från vilken som är bättre än den andra. Hur räknestrategin fungerar påverkas alltid av uträkningens egenskaper, som t.ex. antalet tiotalsövergångar och storleken på de olika termerna. Även det hur väl den som räknar behärskar strategierna inverkar givetvis. En skicklig räknare känns igen på hur snabbt han eller hon kan anpassa sig till de krav som uträkningen ställer, och kan välja den mest lämpliga räknestrategin. En svagare räknare kan däremot inte i lika stor utsträckning välja lämpliga strategier utan använder i alla sammanhang sin enda strategi, t.ex. spjälkning av tal, som i tal med tiotalsövergångar inte är den lättaste eller mest effektiva strategin. Det är viktigt att barnen får studera olika talen för att spjälkning och transformering av talen ska löpa utan problem, och barnet ska utveckla mångsidiga och flexibla strategier. Även de aritmetiska principer, t.ex. del-helhet-förhållandet och motsatsprincipen inverkar på utvecklingen av flytande räkningsstrategier (dessa kunskaper behandlas i avsnittet ”Förståelse för matematiska samband”).

Algoritmer för addition och subtraktion

Det finns många algoritmer för uppställning såväl i addition som i subtraktion. I allmänhet rör man sig från höger till vänster i algoritmer (först ental, därefter tiotal och hundratal osv.) eller räknar bort det nedre talet från det övre. En större variation ryms i huruvida man skriver ut tiotalsövergångar dvs. minnessiffror och lån eller inte, och hur de skrivs ifall de skrivs ut. I det mest traditionella sättet att undervisa uppställning i Finland skrivs minnessiffrorna ovanför respektive i en-, tio-, eller hundratalskolumn (exempelvis i 6 + 7 skrivs summan 13 med en 3:a under entalsraden och en 1:a ovanför tiotalsraden). Ett annat sätt att skriva ut minnessiffrorna är att skriva dem nedanför, så att det större talet (tiotalet) 1:an kommer nere i summaraden bredvid 3:an (dvs. siffrorna i talet 13 bredvid varandra och inte utspridda den ena uppe och den andra nere). Detta förfarande är också motiverat med att det är tydligare. Det finns dock ingen forskning som påvisat att det ena sättet skulle vara bättre att använda än det andra.

Algoritmer kan också läsas från vänster till höger. Då lägger man summorna under varandra och räknar till sist ihop den totala summan. Då skriver man t.ex. i uppgiften 345 + 238 ut alla delmoment i räkneoperationen på följande sätt: 500 + 70 + 13 och räknar ihop summan. Detta sätt kan stöda likheten i huvudräkningsstrategier (att spjälka talet) och uppställningens algoritmer.

Vid undervisning av uppställningens algoritmer är det viktigt att följa upp att det inte blir en mekanisk kedja av räkneoperationer i vilka barnet enbart räknar med ensiffriga tal i området 1-20 och inte förstår talens platsvärde eller innebörden i minnes- och lånesiffror. Traditionell uppställning och algoritmer fungerar dåligt vid huvudräkning, speciellt då man måste göra tiotalsövergångar. Därför är det viktigt att utöver uppställning lära sig effektiva huvudräkningsstrategier och koncentrera sig först på flytande räkning inom talområdet 1-20 innan man övergår till uppställningen.