Utvecklingen av färdigheter hos vanliga barn
Grundläggande färdigheter i aritmetik
Fennema och hennes kolleger (1998) undersökte aritmetiska strategier hos elever (n=132) i första, andra och tredje klass. Föremål för undersökningen var dels olika metoder att lösa ekvationer som eleverna själva utvecklat (algoritmer) och dels de strategier för ekvationslösning som lärdes ut i skolan (standardalgoritmer) samt begreppsförståelsen kring dessa. Forskarna observerade att de elever som började lösa de aritmetiska räkneuppgifterna med metoder de själv kommit på, först hade skapat sig en begreppslig uppfattning om uppgiften. Däremot utvecklades den begreppsmässiga förståelsen senare hos elever som påbörjade lösningen av uppgifterna med standardalgoritmer. Det fanns könsskillnader i valet av aritmetiska strategier: flickor använde mera konkreta föremål och räknestrategier som stöd för problemlösningen, medan pojkar använde mera abstrakta strategier, som att återkalla fakta ur minnet eller strategier de själva kommit på. I årskurs tre använde flickorna betydligt oftare standardalgoritmer än pojkar.
Ransdell och Hecht (2003) undersökte elevers (n=100) färdigheter under andra, tredje och fjärde skolåret. Forskarna noterade att åldern är en tydlig markör som förutsäger såväl matematik- som läsutveckling, med andra ord stiger färdighetsnivån med ökad ålder. Utöver detta förutsade också arbetsminnets spännvidd (dvs. förmågan att upprepa en given talserie) och utvecklingen av denna förmåga elevernas matematiska färdigheter i årskurs fyra. Tyvärr undersökte forskarna de matematiska färdigheterna endast under årskurs fyra och begränsade sig till att använda summapoängen ur ett test (Florida Comperhension Assessment Test Calculation). På grund av detta kan man inte utläsa ur rapporten hurdana matematiska uppgifter utveckling av arbetsminnet förutsäger.
Grundläggande färdigheter i aritmetik och räknefärdigheter
Onatsu-Arvilommi och Nurmi (2000) undersökte barns (n=105) prestationsstrategier och matematiska färdigheter genom att mäta deras färdigheter tre gånger under det första skolåret. Resultaten visade att prestationsstrategier, som t.ex. att koncentrera sig på uppgiften i fråga, inte förutsade matematiska färdigheter. Däremot framkom att svaga färdigheter i läsning och matematik återspeglas i barns benägenhet att välja strategier som inte ledde till framgångsrik lösning av uppgifterna.
Trots att man i denna forskning fokuserat mest på summapoängen, delgavs även resultat om deluppgifterna. Dessa resultat visade bland annat att de matematiska deluppgifterna (som innehåller ordinala tal, addition och subtraktion, samt verbala uppgifter innehållande matematiskt/logiskt resonemang och verbala additions- och subtraktionsuppgifter) hade samband med uppgiftsstrategier (irrelevanta aktiviteter i relation till uppgiften, hjälplöshet, brist på försök) och kunskaper i språket (igenkänning av stavelser, läsförståelse I & II; Kananoja, 1995). Granskningen av dessa samband för med sig några intressanta observationer: grundläggande subtraktionsfärdigheter verkar inte ha samband med strategin eleven väljer för uppgiften, och därtill noterades samband mellan verbala uppgifter och uppgiftsstrategier endast vid några mättillfällen. Det verkar således som om matematiska färdigheter skiljer sig från varandra med avseende på vilka faktorer som har samband med utvecklingen, och vilka som inte har det. I framtiden kommer bättre kunskap om utvecklingens dynamik att underlätta förståelsen för inlärningssvårigheter i matematik.
Fayol, Barrouillet och Marinhte (1998) undersökte vilket testbatteri som bäst förutsäger matematiska problem, neuropsykologiska eller utvecklingspsykologiska test. Barnens (n=172) färdigheter mättes en gång i första klass (ålder 5 år 9 mån, motsv. förskolan i Finland) och en gång under årskurs två (6 år 5 månader motsvarar årskurs ett i Finland). Bägge testbatterierna förutsade väl hurdana aritmetiska färdigheter barnen har i årskurs två, dock med den reservationen att de neuropsykologiska testen inte förutsade utvecklingen av aritmetisk problemlösningsförmåga. De neuropsykologiska testen förutsade väl antalsräkningen på årskurs ett. Den aritmetiska prestationen för eleverna i årskurs ett påverkades främst av åldern, dvs. mängden övning. Också dessa resultat visar att utvecklingen av matematiska färdigheternas delområden är sinsemellan olika, även om mycket är gemensamt eftersom exempelvis utvecklingen av förmågan att räkna antal går bättre att förutspå genom neuropsykologiska än utvecklingspsykologiska faktorer.
Kurdek och Sinclair (2001) mätte barns (n=281) färdigheter i förskolan och på fjärde klass. Resultaten visar att förskoleelevers språkliga färdigheter förutsäger de matematiska färdigheterna väl. Resultatet är föga förvånande eftersom frågebatteriet som användes i årskurs fyra innehöll uppgifter från sammanlagt 11 delområden, många krävde en rätt hög språklig nivå av eleverna. I förskolans testbatteri fanns två deltest, som ensamma kunde förutspå det matematiska kunnandet i årskurs fyra. Dessa var memorering av auditiv information samt antalsräkning. Även denna undersökning stöder resultaten i de tidigare undersökningarna att antalsräkningen spelar en avgörande roll för de kommande matematikfärdigheterna.
Jordan, Kaplan, Locuniak och Ramineni (2007) undersökte barns (n=277) matematiska färdigheter genom att mäta deras kunskaper fyra gånger i förskolan och två gånger under första skolåret. Mätinstrumentet för matematiska färdigheter innehåll flera områden: bland uppgifter med anknytning till talraden uppmättes bl.a. uppräkning av talraden, igenkänning av siffror, förmåga att namnge det följande talet i talraden, antalsräkning genom att granska hur räknestrategier behärskades, nonverbal antalsuppfattning genom att studera barnets förmåga att avgöra vilken mängd är större, samt aritmetiska grundfärdigheter genom språkliga uppgifter. Utöver dessa uppgifter mättes färdigheterna i matematik i årskurs ett även med Woodcock-Johnson Calculation and Applied Problems test (Woodcock-Johnson Test of Achievement; Woodcock, McGrew & Mather, 2001). Resultaten visar att det hur väl barnet behärskar matematiska grundfärdigheter i förskolan och utvecklingen av dessa i förskolan, förklarar över hälften (66 %) av matematikfärdigheterna i årskurs ett.
Forskarna urskiljde tre elevgrupper i materialet på basen av vilken nivå barnets kunskap var i förskolan och hur den utvecklades: låg nivå- jämn utveckling, medelhög nivå- stark utveckling, samt hög nivå – jämn utveckling. Barn med en svag social bakgrund (dvs. föräldrar med låg utbildning – låg inkomst) var starkt representerade i gruppen låg nivå – jämn utveckling. Också könsskillnader påvisades, eftersom pojkarna hade bättre matematiska färdigheter i förskolan och under första skolåret än flickor.
När man granskade resultaten för enskilda uppgifter i kartläggningen, noterades att alla deltest väl förutspådde matematikfärdigheter i årskurs ett. Undantaget var dock delen för räknande (som innehöll talraden och antalsräkningen) eftersom den inte förutspådde framtida framgång i matematik. Detta resultat är intressant eftersom andra undersökningar ofta utgår enbart från uppräknande av talraden eller antalsräkningen då man försöker förutsäga framtida kunnande (t.ex. Koponen, Aunola, Ahonen och Nurmi, i tryck). I detta sammanhang är det dock värt att påminna om att Jordan, Kaplan, Olah och Locuniak (2006) rapporterade om problemen med tillförlitligheten i användningen av samma delskala. Det är således möjligt att uppräkning av talraden och antalsräkningen är goda indikatorer för framtida matematikprestationer, men att mätaren som Jordan och hennes medarbetare utvecklat mäter dessa färdigheter bristfälligt. Det behövs mer forskning på området så att man i framtiden kan använda även andra färdigheter för prediktion. Sammanfattningsvis visar forskningen en viktig sak, nämligen att den matematik som barnet behärskar i början av och under förskoletiden har betydelse för barnets framtida lärande i matematik.
Grundläggande färdigheter i matematik, räknefärdigheter och förståelse av matematiska relationer
Aunola, Leskinen, Lerkkanen och Nurmi (2004) undersökte matematiska färdigheter hos barn (n=196) vid två tillfällen i förskolan, första klass och andra klass. Vid samtliga mättillfällen mättes färdigheter i talraden (ordinala och kardinala tal, igenkänning av siffror), antalsräkning, matematiska relationer samt grundläggande aritmetiska färdigheter (addition, subtraktion, multiplikation och division) i skriftliga uppgifter och som ekvationer. Som kognitiv mätare i förskolan för att förutspå framtida färdigheter använde forskarna räknefärdigheter i förskolan, som mättes med följande uppgifter gällande talraden: att räkna upp talen i talraden, bak- och framlänges, samt att fortsätta uppräkningen från ett givet tal.
Resultaten visade först och främst att skillnaderna mellan barnens kunskaper blev större när barnen flyttades över från förskolan till grundskolan. Det andra viktiga resultatet var att de matematiska färdigheterna utvecklas snabbare hos de barn som hade goda kunskaper redan då de började förskolan, och långsammare hos barn med ett svagare utgångsläge. Det tredje resultatet var att den kognitiva mätaren i förskolan (uppräkning av talkedjan) som valts, visade sig förutspå inte enbart kunskapsnivån men även utvecklingens hastighet. Tyvärr innehöll summapoängen i matematikkunskaper väldigt olika mätare (färdigheter med talraden, antalsräkning, matematiska relationer och grundläggande aritmetiska färdigheter). På grund av detta är det svårt att avläsa vilken enskild färdighet som främst förutsäger framtida kunskaper i matematik.
Koponen, Aunola, Ahonen och Nurmi (i tryck) undersökte räknefärdigheter och aritmetiska grundfärdigheter (talraden, addition och subtraktion med ensiffriga tal, samt addition, subtraktion, multiplikation och division med flersiffriga tal) räknefärdigheter och deras samband till färdigheter i läsning och andra kognitiva färdigheter hos barn (n=178) i förskola och på fjärde klass. Resultaten visade att ett test i snabb benämning av serier förutsade färdigheter i att räkna upp talkedjan i förskolan och additions- och subtraktionsfärdigheter med ensiffriga tal i årskurs fyra. Därtill förutsade snabb benämning av serier även de förra färdigheterna i relation till färdigheter i läsning.
Förmågan att kunna återkalla språklig och visuell information ur minnet förutspådde elevers additions- och multiplikationsfärdigheter i årskurs fyra, samt dessa färdigheter i relation till läsningen. Resultatet innebär att färdigheterna i addition och multiplikation med ensiffriga tal i årskurs fyra har samband med elevernas språkliga förmåga, med andra ord försvagar språkliga problem sannolikt utvecklingen av dessa färdigheter. Däremot förutspådde elevens förmåga gällande i talraden i förskolan samt moderns utbildning förmågan att lösa sådana additions- och subtraktions, samt multiplikations- och divisionsuppgifter med flersiffriga tal som kräver att man löser uppgiften i flera steg. Forskarna underströk även vikten av de aritmetiska färdigheternas inbördes hierarki. Räkning med ensiffriga tal ingår i räkningen av aritmetiska uppgifter med flersiffriga tal och en framgångsrik lösning av dessa uppgifter förklaras av olika kognitiva faktorer (t.ex. minne och språklig kapacitet).
En forskargrupp från Jyväskylä har i flera undersökningar rapporterat om hur faktorer som rör motivation och föräldrar har samband med utvecklingen av barnets matematiska färdigheter i förskolan, samt under det första och andra skolåret.
Aunola, Leskinen och Nurmi (2006) presenterade en studie där färdigheterna i matematik hos 196 barn mättes en gång under förskolan, två gånger under årskurs ett och en gång under årskurs två. Enligt resultaten ökade utförandet av uppgifterna i matematik framgångsrikt (talraden, enkel addition och subtraktion, antalsräkning, förståelse av matematiska samband) motivationen att lösa matematiska uppgifter vilket i sin tur förbättrade deras prestationer i uppgifterna. Barnens motivation att lösa matematiska uppgifter ökade i sådana klasser där läraren medvetet betonade utvecklingen av motivation och en god självbild.
Aunola, Nurmi, Lerkkanen och Rasku-Puttonen (2003) beskrev sin undersökning, där de undersökte det matematiska kunnandet hos 111 barn fem gånger under det första skolåret. Enligt deras resultat klarade sig barn med hög grad av uppgiftsorientering bra i matematiska uppgifter (uppgifterna mätte behärskandet av talraden, matematiska förhållanden, addition och subtraktion). Föräldrarnas tillit till sina barns skolframgång, speciellt gällande matematiken, höjde de goda prestationerna i matematikuppgifterna.
Aunola och Nurmi (2006) mätte 169 barns färdigheter två gånger i förskolan, två gånger i första klass och två gånger i andra klass. Resultaten visade att om barnets mamma jobbar som högre tjänsteman eller inom kontorsbranschen, var barnets kunskaper i matematik bättre än hos de elever vars mammor var arbetstagare. Barnets prestationer i matematikuppgifterna påverkades också av saker som hur mamman kontrollerade barnets beteende, liksom även anknytningen. Det verkar ändå vara så att om mammans starka anknytning också präglas av en starkt psykisk kontroll av beteendet, var barnets prestationer svaga i matematiken. Man kunde anta att inverkan av dessa kunde påverka också andra områden än matematik, men det undersöktes inte i Aunolas och Nurmis studie.
Huntsinger, Jose, Larson, Krieg och Shaligram (2000) undersökte i en komparativ studie mellan olika kulturer 40 amerikanska barn med europeisk härkomst och 40 amerikanska barn med kinesisk härkomst (i andra generationen). Barnens kunskaper mättes i 5 ½ , 7 ½ och 9 ½ års ålder. Resultaten visade att de amerikanska barnen med kinesiska rötter klarade matematikuppgifterna bättre än de amerikanska barnen med europeiska rötter vid samtliga mättillfällen. Forskarna förklarade skillnaderna med att de kinesisk-amerikanska föräldrarna föredrar att träna färdigheter disciplinerat redan i ett tidigt skede i större omfattning än de europeisk-amerikanska föräldrarna.
Bägge forskargrupperna, Aunola m.fl. och Huntsinger m.fl., använde summapoäng som erhållits genom att man räknar ihop poäng för väldigt olika matematikuppgifter i sina analyser. Detta försvårar tolkningen av hur olika bakgrundsfaktorer påverkar olika matematiska färdigheter. Ett viktigt resultat är i varje fall det att faktorer förknippade med motivation och föräldrar påverkar elevernas matematikkunskaper redan i förskole- och nybörjarundervisningen.
Grundläggande färdigheter i aritmetik, räknefärdigheter, förståelse av matematiska relationer och antalsuppfattning.
Jordan, Kaplan, Oláh och Locuniak (2006) undersökte förbättrade inlärningsresultat i matematikuppgifter hos 411 barn. Barnen representerade medelklass eller de lägre samhällsklasserna. Mätinstrumentet för matematikkunskaperna bestod av många uppgifter som mätte olika matematiska områden, bland annat antalsräkning, uppräkning av talraden, matematiska relationer, antalsuppfattning samt additions- och subtraktionsuppgifter. Forskarna indelade barnen i grupper dels enligt deras kunskapsnivå i början av förskolan, och dels enligt hur mycket deras kunnande utvecklades under förskolan. Resultatet blev tre grupper: barn som hade ett svagt utgångsläge och en långsam utveckling, barn som hade en ett gott utgångsläge och en medelmåttlig utveckling samt barn som hade ett gott utgångsläge och en långsam utveckling.
Till en tydlig riskgrupp hörde de barn vars utgångsläge i början av förskolan var svagt och utvecklingen långsam. Sådana barn som kom från medelklassfamiljer klarade samtliga moment i testen bättre än barnen från lägre samhällsklasser. Utvecklingstakten var likartad i båda socialklasserna utom gällande verbala additioner och subtraktioner där barnen från de lägre socialklasserna klarade sig något sämre. Detta resultat tyder på att barnen i de olika samhällsklasserna skiljer sig redan i början av sin skolkarriär gällande kunskapsnivån och ibland även i utvecklingen i matematik. För denna utveckling är hemmets stöd av stor betydelse.
Räknefärdigheter och antalsuppfattning
Hannula och Lehtinen (2005) undersökte de matematiska färdigheterna hos 39 barn genom att mäta dem i 3 ½, 5 och 6 års ålder. De matematiska kunskaperna som mättes var: spontan fokusering på antal, antalsräkning samt uppräkning av talraden. Resultaten visar att barnen skiljde sig från varandra när det kom till vilken grad de spontant fokuserade på antal, och att benägenheten (och skillnaderna i den) verkar vara rätt bestående. Den spontana fokuseringen på antal hade samband med räknefärdigheterna.
I en annan studie preciserade Hannula, Räsänen och Lehtinen (2007) de tidigare resultaten genom att undersöka färdigheter hos 4- och 5-åriga barn (n=39). Resultaten tyder på att barn som har en bestående benägenhet att spontant fokusera på antal, klarade av att definiera större antal nonverbalt än andra barn redan som femåringar. Utöver detta hade de en bättre förmåga att räkna antal.
Van der Heyden, Boussard, och Cooley (2006) undersökte utvecklingen av de matematiska färdigheterna hos 82 barn genom att mäta deras kunskaper i 5- och 6-års ålder. Resultaten visar att femåringars färdigheter med talraden bäst bland alla mätta egenskaper förklarar förmåga till antalsräkning som sexåring. Ett annat starkt samband hittades mellan antalsräkning vid 5- och 6-års ålder. Det tredje sambandet fanns mellan igenkänning av siffror som femåring och antalsräkningen som sexåring.
Sammanfattning
Sammanfattningsvis kan konstateras att en välutvecklad antalsräkning bygger på olika lämpliga egenskaper, som till exempel benägenheten att spontant fokusera på antal, förmågan att räkna upp talraden samt förmågan att förstå ett tals kardinala (antalsmässiga) betydelse.
