Apuviivat
Geometria oli oppiaineena, kun kävin koulua. Nyt se on käytännössä poistettu: mittausoppia ei ole enää oppiaineena. Tarkastelen geometrian avulla matematiikan opetuksen dilemmaa: mitä tehdä vaikeille oppiaineille, tai yleisemmin vaikeasti opetettaville ajattelukohteille.
Geometria on alun perin syntynyt käytännöllisistä ja teoreettisista syistä. Koska verotettavat maa-alueet eivät olleet kaikki samanmuotoisia ja –kokoisia, piti niiden pinta-alat laskea oikeudenmukaisen verotuksen perustaksi. Sana geometria on alun perin ollutkin muinaiskreikan maanmittausta tarkoittava. Teoreettinen syy oli ymmärtää maailma ja sen matemaattisen kuvauksen perusteet.
Matematiikan alueena geometria on varmaankin ensimmäisiä systemaattisesti läpikäytyjä tiedonaloja. Eukleideen geometrian oppikirja Alkeet julkaistiin noin 2300 vuotta sitten. Matematiikan oppikirjoja on toki vanhempiakin kuten papyrus-kirjat egyptiläisille kirjureille.
Mutta esitetäänpä esimerkki vaikeasta asiasta, joka on ollut sellainen vuosituhansia ja on edelleen. Lainaan Wikipediaa (hakusana geometria) ja esitän lyhyen kuvauksen asiasta, joka olisi siis pääosin menetetty, koska sitä ei ole katsottu enää tärkeäksi yli 2000 vuoden harkinnan jälkeen. Lainauksen lopussa on kuitenkin luettelo termeistä, jotka edelleenkin tulisi – kai – ymmärtää.
”Geometrian kehitystä antiikista 1800-luvun alkupuolelle väritti tasogeometrian paralleeliaksiooman ongelma. Euklidinen paralleeliaksiooma kuuluu seuraavasti: suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta kulkee tasan yksi suoran kanssa yhdensuuntainen suora.
Aksiooman uskottiin mahdollisesti seuraavan muista Eukleideen aksioomista, jolloin se olisi turha ja sen voisi jättää aksioomaluettelosta pois. Yritykset johtaa paralleeliaksioomaa muista aksioomista käsin olivat kuitenkin turhia. Paralleeliaksiooma on riippumaton tasogeometrian aksioomista /…/
Paralleeliaksiooman riippumattomuus antoi mahdollisuuden tutkia uudenlaisia geometrioita, joissa hylätään euklidinen paralleeliaksiooma ja oletetaan jokin sen kanssa ristiriitainen paralleeliominaisuus. Esimerkkeinä näistä vaihtoehtoisista paralleeliominaisuuksista ovat hyperbolinen paralleeliaksiooma suoran ulkopuolelle olevan pisteen kautta kulkee vähintään kaksi suoran kanssa yhdensuuntaista suoraa ja elliptinen paralleeliaksiooma yhdensuuntaisia suoria ei ole.
Geometrioita, joissa oletetaan jokin muu kuin euklidinen paralleeliominaisuus, kutsutaan epäeuklidisiksi geometrioiksi. Euklidista geometriaa on perinteinen euklidisen paralleeliaksiooman olettava geometria. /…/
Geometrian peruskäsitteitä ovat muun muassa piste, suora, taso, avaruus, ympyrä, ellipsi, kolmio, neliö, pallo, lieriö, kartio, säännöllinen monitahokas, käyrä, pinta, kappale, kulma, pituus, pinta-ala ja tilavuus."
Kouluopiskeluni mielenkiintoisimpia kokemuksia oli geometria, ei toki paralleelli-aksioman käsittely – ei sitä käsitelty, ja tiedän nyt, että sitä ei olisi voinut kouluaivoilla ymmärtää - vaan apuviivan piirtäminen geometrian tehtävissä. Koulun geometrian tehtävät eivät olleet järin vaikeita, mutta ratkaisut olivat joskus tuskan takana. Ratkaisun oleellisin elementti oli kuvion tai tehtävän mallintaminen sanallisen tehtävän perusteella ja sitten sopivan apuviivan piirtäminen. Apuviivalla kappale – oli se sitten lieriö tai säännöllinen monitahokas tai mikä se nyt milloinkin olikaan – muuntui sellaisiin osiin, joihin saattoi soveltaa pythagoraan lausetta suorakulmaisen kolmion hypotenuusan ja kateettien pituuksien suhteista tai kulmien suuruudesta.
Vaikea tehtävä muuntui itse asiassa helposti ratkaistavaksi tehtäväksi, kun sai oikean apuviivan piirrettyä tai kuviteltua. Apuviiva ei aina heti löytänyt paikkaansa ja niitä sai kokeillen piirrellä useita, kunnes tiesi saaneensa oikean aikaan: sen näki, että siitä se ratkaisu lähtee.
Geometrian opettaminen on ollut keskeinen keino vuosituhansia ajattelun opettamiseen. Antiikin opetussuunnitelma –enkyklios paideia– muuttui vanhan ajan ja keskiajan opetussuunnitelmaksi –septem artes liberales– ja geometria oli mukana: ajattelun opettamiseksi, oikeanlaisten apuviivojen merkityksen ja piirtämisen opettamiseksi.
Tästä on edelleenkin kyse: mikä on matematiikan opetuksen ydintä, miten siellä opetetaan ajattelemaan, koska juuri sen oppimista tarvitaan matematiikassa, eikä kyse ole mistään ihmiselle vieraasta, muiden keksimästä. Kyse on ihmisen ajattelun kehityksestä ja siitä, että tälle matkalle tarvitaan edelleenkin johdattaa kaikki nuoret. Vaikka se ei enää kulkisi geometrian polkuja, tie ajatteluun on olemassa ja sen kulkemiseen keinot. On myös uusia keinoja opettaa perinteistä asiaa.
Mutta uusiakin keinoja tulee etsiä, kokeilla, vetää viivoja – ja kun ne löytyvät, sen tietää.
Jarkko Hautamäki
Erityispedagogiikan professori
Helsingin yliopisto
